Question

Исследовать и построить график функции y=x/2+2/x

Answer 1

Ответ:

Смотри на фото.

Answer 2

Чтобы исследовать функцию $y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$, давайте начнем с поиска ее области определения и поведения на графике.

Область определения:

Функция определена для всех значений $x$, кроме 0, так как деление на ноль не определено.

Асимптоты:

Функция имеет вертикальную асимптоту при $x = 0$, так как при $x \to 0$ значение функции стремится к бесконечности.

Производная:

Для нахождения экстремумов и точек перегиба, найдем производную функции:

$y' = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$

Производная обращается в ноль при $x^2 = 4$, что дает две точки экстремума: $x = -2$ и $x = 2$. Проверка второй производной покажет, что это точки минимума и максимума соответственно. Таким образом, у функции есть локальный минимум в точке $(-2, -3)$ и локальный максимум в точке $(2, 3)$.

Поведение на графике:

1. Поведение при $x \to +\infty$: $\lim_{{x \to +\infty}} \left(\frac{x}{2} + \frac{2}{x}\right) = +\infty$ Это означает, что график функции уходит в бесконечность при $x \to +\infty$.

2. Поведение при $x \to -\infty$: $\lim_{{x \to -\infty}} \left(\frac{x}{2} + \frac{2}{x}\right) = -\infty$ Это означает, что график функции уходит в бесконечность при $x \to -\infty$.

Теперь давайте построим график функции. Я не могу создать непосредственно графики, но я могу помочь вам описать, как построить график с учетом всех вышеуказанных свойств. График будет иметь вертикальную асимптоту в $x = 0$, локальный минимум в $(-2, -3)$ и локальный максимум в $(2, 3)$. График будет уходить в бесконечность как при $x \to +\infty$, так и при $x \to -\infty$.