Question

Помогите в решении примера ∫∫dxdy D={x=y, y=1/4x, x+2y=6}

Answer 1

$y=x \\ \\ y=\frac{1}{4} x \\ \\ x+2y=6; \\ 2y=6-x \\ \\ y=3-\frac{1}{2}x \\ \\ x=\frac{1}{4}x \\ \\ x-\frac{1}{4}x=0 \\ \\ \frac{3}{4}x=0 \\ \\ x=0$

$y=0$

$x=3-\frac{1}{2}x \\ \\ x+\frac{1}{2}x=3 \\ \\ \frac{3}{2}x=3 \\ \\ 3x=6 \\ \\ x=2$

$y=2$

$\frac{1}{4} x=3-\frac{1}{2} x \\ \\ \frac{1}{4} x+\frac{1}{2} x=3 \\ \\ \frac{3}{4} x=3 \\ \\ 3x=12 \\ \\ x=4 \\ \\ y=\frac{1}{4}\cdot 4=1$

$\int\int\limits_D {} \, dx dy=\int\limits^2_0 \, dx \int\limits^{x}_{\frac{x}{4} } {} \, dy+\int\limits^4_2 \, dx \int \limits^{3-\frac{x}{2} }_{\frac{x}{4} } {} \, dy =\int\limits^2_0 {(x-\frac{x}{4} )} \, dx+\int\limits^4_2 {(3-\frac{x}{2} -\frac{x}{4} )} \, dx = \\ \\ =\frac{3}{4}\int\limits^2_0 {x} \, dx+3 \int\limits^4_2 {(1-\frac{x}{4} )} \, dx =\frac{3}{4}\cdot (\frac{x^2}{2})|^2_0 + 3\cdot (x-\frac{x^2}{8})|^4_2=$

$=\frac{3}{8}\cdot ( 2^2- 0 )+3\cdot ( (4-\frac{4^2}{8}) - (2-\frac{2^2}{8}) ) =\frac{3}{2}+3\cdot ( 2 - 2+\frac{1}{2} )=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$

Answer 2

Для вычисления данного двойного интеграла, сначала определим область D, ограниченную линиями x=y, y=1/4x и x+2y=6.

1. Начнем с нахождения точек пересечения этих линий. Сначала найдем точку пересечения x=y и x+2y=6:

x = y x + 2y = 6

Подставив x=y в уравнение x+2y=6:

y + 2y = 6 3y = 6 y = 2

Таким образом, первая точка пересечения (x, y) равна (2, 2).

2. Теперь найдем точку пересечения y=1/4x и x+2y=6:

y = 1/4x x + 2(1/4x) = 6 x + 1/2x = 6 (3/2)x = 6 x = 4

Подставив x=4 в y=1/4x:

y = 1/4 * 4 y = 1

Вторая точка пересечения (x, y) равна (4, 1).

Таким образом, область D ограничена кривыми x=y, y=1/4x и x+2y=6 и лежит между точками (2, 2) и (4, 1).

3. Теперь мы можем записать интеграл для вычисления:

∫∫_D dxdy

Интегрируем сначала по x, а затем по y. Границы интегрирования будут следующими:

x: от 2 до 4 y: от 1/4x до x

Теперь вычислим этот двойной интеграл:

∫(2 to 4) ∫(1/4x to x) dxdy

Сначала интегрируем по x:

∫(2 to 4) [∫(1/4x to x) dx] dy

∫(2 to 4) [(1/4)ln(x) - (1/4)ln(1/4x)] dy

Теперь интегрируем по y:

[(1/4)ln(x) - (1/4)ln(1/4x)] * y |(2 to 4)

[(1/4)ln(4) - (1/4)ln(1) - ((1/4)ln(2) - (1/4)ln(1/2))]

(1/4)(2ln(2) - 2ln(2) + ln(4) - ln(2))

(1/4)(ln(4) - ln(2))

(1/4)(ln(2))

ln(2)/4

Таким образом, значение данного двойного интеграла равно ln(2)/4.