Question

Во сколько раз увеличится площадь трейгольника, если его стороны увеличить в 4 раза​

Answer 1

При увеличении всех сторон треугольника в 4 раза мы получим подобный треугольник, причем коэффициент подобия этих треугольников окажется равным $k=4$.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

$\dfrac{S'}{S} =k^2=4^2=16$

Показать то же самое можно с помощью формул для площади треугольника. Например, известно, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Исходная площадь:

$S=\dfrac{1}{2} ab\sin\gamma$

Важно помнить, что при изменении только линейных размеров, углы нового треугольника окажутся равны соответствующим углам исходного треугольника.

Новая площадь:

$S'=\dfrac{1}{2} \cdot 4a\cdot 4b\cdot \sin\gamma=16\cdot \dfrac{1}{2} ab\sin\gamma=16S$

Или же рассмотрим формулу Герона. Исходная площадь:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\ p=\dfrac{a+b+c}{2}$

Для начала покажем, что $p'=4p$:

$p'=\dfrac{4a+4b+4c}{2}=4\cdot \dfrac{a+b+c}{2}=4p$

Новая площадь:

$S'=\sqrt{4p(4p-4a)(4p-4b)(4p-4c)}=\sqrt{4^4\cdot p(p-a)(p-b)(p-c)}=$

$=4^2\cdot\sqrt{ p(p-a)(p-b)(p-c)}=16S$

Ответ: в 16 раз

Answer 2

Если все стороны треугольника увеличить в 4 раза, то его площадь увеличится в 16 раз. Это следует из того, что площадь треугольника вычисляется как половина произведения длины основания на высоту:

Площадь (S) = (основание × высота) / 2

Если все стороны увеличиваются в 4 раза, длина основания увеличится в 4 раза, а высота тоже увеличится в 4 раза. После увеличения площадь можно выразить как:

Новая площадь (S') = (новое основание × новая высота) / 2 = (4 × основание × 4 × высота) / 2 = 16 × (основание × высота) / 2 = 16 × S

Таким образом, площадь увеличится в 16 раз.