Question

1. Знайти рівняння дотичної до графіка функції у = cos 2x при х0 = p/12. 2. Знайти максимум та мінімум функції у = 1 – 3.х2 – х3 на інтервалі [-3; 1]

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1.

f(x) = cos 2x при х0 = π/12.

уравнение касательной

y= f(x0) + f'(x0)(x-x0)

f(π/2) = -1

f'(x) = -2sin(2x)

f'(π/2) = 0

y = -1 + 0*(x-π/2)

y = -1

2. у = 1 – 3х² – х³     [-3; 1]

y' =  -3x² - 6x = -3x(x+2)

-3x(x+2)= 0  ⇒  x₁ = 0;   x₂ = -2 -критические точки

поскольку они обе принадлежат [-3; 1], ищем значение функции в критических точках и на концах отрезка

f(0) = 1

f(-2) = -3

f(-3) = 1

f(1) = -3

минимум у = -3 в точках х = -2  и  х = 1

максимум у = 1 в точках  х =0   и  х = -3

Answer 2

1. Знайти рівняння дотичної до графіка функції у = cos(2x) при x₀ = π/12.

Щоб знайти рівняння дотичної, нам потрібно знайти похідну функції y = cos(2x) і підставити значення x₀.

Похідна функції y = cos(2x): y'(x) = -2sin(2x).

Тепер знайдемо похідну в точці x₀ = π/12: y'(π/12) = -2sin(2 * π/12) = -2sin(π/6) = -2 * 1/2 = -1.

Тепер ми маємо нахил дотичної в точці x₀. Тепер використаємо рівняння дотичної:

y - y₀ = m(x - x₀),

де (x₀, y₀) - точка на графіку, а m - нахил дотичної.

Замінюємо відомі значення: y - y₀ = -1(x - π/12).

Тепер можемо знайти рівняння дотичної. Нехай, наприклад, (x₀, y₀) = (π/12, cos(2π/12)) = (π/12, cos(π/6)) = (π/12, √3/2).

Отже, рівняння дотичної: y - √3/2 = -1(x - π/12).

2. Знайти максимум та мінімум функції y = 1 - 3x^2 - x^3 на інтервалі [-3; 1].

Для знаходження максимуму та мінімуму функції спочатку знайдемо її похідні та точки, де похідні дорівнюють нулю.

Похідна функції y = 1 - 3x^2 - x^3: y'(x) = -6x - 3x^2.

Знайдемо точки, де y'(x) = 0: -6x - 3x^2 = 0. -3x(2 + x) = 0. x = 0 і x = -2.

Тепер знайдемо значення функції в цих точках і на кінцях інтервалу: y(-3) = 1 - 3(-3)^2 - (-3)^3 = 1 - 27 + 27 = 1. y(0) = 1 - 3(0)^2 - (0)^3 = 1. y(1) = 1 - 3(1)^2 - (1)^3 = 1 - 3 - 1 = -3. y(-2) = 1 - 3(-2)^2 - (-2)^3 = 1 - 12 + 8 = -3.

З цих значень видно, що максимум функції рівний 1 (на точці 0), а мінімум рівний -3 (на точках -3 і -2) на інтервалі [-3; 1].