Question

При каком наименьшем натуральном значении k выражение 2018 ∙2019 ∙ 2020 ∙2021+kбудет полным квадратом натурального числа?

Answer 1

Ответ: 1

Пошаговое объяснение:

Посчитаем √(2018 ∙2019 ∙ 2020 ∙2021) = √16633175267640 ≈ 4078378,999

Самое близкое натуральное число к получившемуся--это 4078379. Найдём его квадрат

4078379²=16633175267641      (это 2018 ∙2019 ∙ 2020 ∙2021+k)

Теперь найдём разность второго и первого произведения данных чисел:

k=16633175267641 - 16633175267640 = 1

Answer 2

Чтобы выражение 2018 * 2019 * 2020 * 2021 + k было полным квадратом натурального числа, необходимо, чтобы оно было равно квадрату какого-то натурального числа n^2. Мы можем записать это в виде уравнения:

2018 * 2019 * 2020 * 2021 + k = n^2

Для нахождения наименьшего натурального значения k, которое удовлетворяет этому уравнению, давайте рассмотрим разницу между двумя последовательными квадратами натуральных чисел:

(n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1

Теперь давайте подставим это выражение в уравнение:

2018 * 2019 * 2020 * 2021 + k = 2n + 1

Теперь нас интересует минимальное значение k, поэтому давайте рассмотрим случай, когда n минимально. Пусть n = 1:

2018 * 2019 * 2020 * 2021 + k = 2 * 1 + 1

2018 * 2019 * 2020 * 2021 + k = 2 + 1

Теперь мы можем найти k:

2018 * 2019 * 2020 * 2021 + k = 3

k = 3 - 2018 * 2019 * 2020 * 2021

Таким образом, наименьшее натуральное значение k, при котором выражение 2018 * 2019 * 2020 * 2021 + k будет полным квадратом натурального числа, равно 3 - 2018 * 2019 * 2020 * 2021.