Question

Количество целых значений параметра a, при которых абсцисса вершины параболы y=(x-11a)^2+a^2-4a-21 и ее ордината отрицательны, равно:

Answer 1

y=(x-11a)²+a²-4a-21 , упростим у=х²-22ах+121а²+а²-4а-21; у=х²-22ах+122а²-4а-21;

абсцисса вершины параболы, заданная уравнением у= а²+bx+c, считается по формуле х₀=-b/2a=-(-22а)/(2*1)=11а; 11а<0, когда а<0.

ордината вершины может быть найдена так:  у₀=у(х₀)=

(11а)²-22*а*11а+122а²-4а-21=121а²-242а²+122а²-4а-21=а²-4а-21;

а²-4а-21<0, решим это неравенство методом интервалов.

а²-4а-21=0;

а₁,₂=(2±√(4+21))=(2±5); а₁=7; а₂=-3;

____-3____________7____________а

 +                      -                            +

а∈(-3;7), с учетом отрицательности а, получаем сужение решений неравенства а∈(-3;0), на этом промежутке целыми решениями являются -2;-1; т.е. количество целых значений параметра a, при указанных в условии ограничениях, равно двум.

Ответ 2

Answer 2

Для найти количество целых значений параметра "a," при которых абсцисса вершины параболы и ее ордината отрицательны, мы можем использовать следующие шаги:

1. Найдем вершину параболы. В общем виде парабола задана уравнением: y = ax^2 + bx + c. В данном случае, у нас есть следующее уравнение параболы: y = (x - 11a)^2 + a^2 - 4a - 21.

2. Для нахождения вершины, нам нужно найти x-координату и y-координату вершины. Вершина параболы имеет x-координату x_v = -b/(2a) и y-координату y_v = c - b^2/(4a).

3. В данном случае, a = 1, b = -11a, и c = a^2 - 4a - 21. Подставим значения в формулы:

x_v = -(-11a)/(21) = 11a/2, y_v = a^2 - 4a - 21 - (-11a)^2/(41) = a^2 - 4a - 21 - (121a^2/4) = a^2 - 4a - 21 - 30.25a^2 = -29.25a^2 - 4a - 21.

4. Теперь мы должны найти условия, при которых и x_v, и y_v отрицательны. Исследуем каждую из них:

   a) x_v < 0: 11a/2 < 0 11a < 0 a < 0

   b) y_v < 0: -29.25a^2 - 4a - 21 < 0

5. Теперь мы имеем два неравенства: a < 0 и -29.25a^2 - 4a - 21 < 0. Найдем множество целых значений "a," которые удовлетворяют обоим условиям.

6. Сначала найдем множество значений "a," удовлетворяющих a < 0. Так как a - целое число, то множество таких значений будет представлять собой все отрицательные целые числа.

7. Теперь найдем множество значений "a," удовлетворяющих -29.25a^2 - 4a - 21 < 0. Можно воспользоваться методом анализа знаков. Заметим, что коэффициент при a^2 отрицателен (-29.25), что означает, что парабола ветвится вниз. Мы хотим, чтобы она находилась под осью x (y < 0), поэтому нужно рассмотреть интервалы, на которых она отрицательна. Это произойдет, когда парабола находится между ее корнями.

8. Решим уравнение -29.25a^2 - 4a - 21 = 0, чтобы найти корни:

   -29.25a^2 - 4a - 21 = 0

Используем квадратное уравнение:

a = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

a = (-(-4) ± √((-4)² - 4 * (-29.25) * (-21))) / (2 * (-29.25))

a = (4 ± √(16 - 2457)) / (-58.5)

a = (4 ± √(-2441)) / (-58.5)

Поскольку внутри корня отрицательное число, у нас нет действительных корней. Это означает, что парабола всегда находится под осью x.

9. Таким образом, множество целых значений "a," при которых абсцисса вершины параболы и ее ордината отрицательны, представляет собой все отрицательные целые числа.

10. Если вы хотите найти количество таких целых значений "a," вам следует рассмотреть множество всех отрицательных целых чисел, которое бесконечно.