Question

Найти наибольшее и наименьшее значения: 1)y=x²-9x²+24x-15;[1;3]

Answer 1

Ответ:

1)Найдём значения функции на концах отрезка:

y(3) = 3³ - 9*3² + 24*3 - 1= 27 - 81 + 72 - 1= 17

y(6) = 6³ - 9*6² + 24*6 - 1= 216 - 324 + 144 - 1 = 35

2) Найдём критические точки, принадлежащие этому отрезку, для этого найдём производную и приравняем её к нулю:

y' = (x³ - 9x² + 24x - 1)' = 3x² - 18x + 24

3x² - 18x + 24 = 0

x² - 6x + 8 = 0

x₁ = 4        x₂ = 2 - по теореме, обратной теореме Виетта.

x = 2 - не подходит так как не принадлежит отрезку [3 ; 6]

3) Найдём значение функции в критической точке x = 4:

y(4) = 4³ - 9*4² + 24*4 - 1= 64 - 144 + 96 - 1 = 15

4) Сравним значения функции на концах отрезка и в критической точке. Наибольшее число будет наибольшим значением функции, а наименьшее - наименьшим значением функции.

Наибольшее значение равно 35, а наименьшее 15.

Пошаговое объяснение:

Удачки!

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 9x^2 + 24x - 15$ на интервале $[1, 3]$, сначала найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки. Затем проверим значения функции в этих точках и на концах интервала, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения.

1. Найдем производную функции $y = x^2 - 9x^2 + 24x - 15$: $y' = 2x - 18x + 24.$

2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: $2x - 18x + 24 = 0 \Rightarrow -16x + 24 = 0 \Rightarrow x = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}.$

Критическая точка $x = \frac{3}{2}$ находится в пределах интервала $[1, 3]$, так что она может быть экстремумом.

3. Найдем значения функции в критической точке и на концах интервала:

• $y(1) = 1^2 - 9 \times 1^2 + 24 \times 1 - 15 = -1$,
• $y\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 9 \times \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 24 \times \frac{3}{2} - 15$,
• $y(3) = 3^2 - 9 \times 3^2 + 24 \times 3 - 15 = 9 - 81 + 72 - 15 = -15$.

Таким образом, наименьшее значение функции на интервале $[1, 3]$ равно -15 (достигается в точке $x = 3$), а наибольшее значение равно -1 (достигается в точке $x = 1$).