Question

B треугольнике АВС стороны АС и ВС равны. Биссектриса угла ВАС пересекает ВС в точке Е . На стороне АВ отмечена точка D. Прямые АЕ и СD пересекаются в точке N. Известно, что углы CDB=CEA=60°. Докажите, что периметр треугольника СEN равен отрезку АВ.​

Answer 1

По условию АD=DС. Значит ΔАDС равнобедренный и ∠А=∠АСD=40°.
СD - биссектриса (по условию). Значит ∠С=2*40°=80°.
В треугольника АВС напротив угла А, равного 40°, лежит сторона ВС, а напротив угла С, равного 80°, лежит сторона АВ.
В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона.
Следовательно АВ>ВС.

Answer 2

Давайте докажем, что периметр треугольника CEN равен отрезку AB.

Для начала, обратим внимание на то, что угол CEA равен 60 градусам, и угол CEB также равен 60 градусам (так как CEB - биссектриса угла VCA). Теперь рассмотрим треугольники CEB и CEA.

У нас есть следующие углы:

1. Угол CEB = 60 градусов.
2. Угол CEA = 60 градусов.
3. Угол CDE = 180 градусов (поскольку это прямая).
4. Угол CEN = 180 градусов (поскольку это прямая).
5. Угол CED = 180 - 60 - 60 = 60 градусов.

Теперь рассмотрим треугольники CEB и CED. Мы знаем, что угол CEB и угол CED равны 60 градусам, и угол CDE также равен 60 градусам. Следовательно, треугольники CEB и CED подобны друг другу по углам (угол-угол-угол).

Поскольку треугольники CEB и CED подобны, соответственные стороны этих треугольников пропорциональны. Давайте обозначим длину CE как x и длину CD как y.

Теперь, учитывая подобие треугольников CEB и CED, мы можем написать следующее уравнение:

CE / CD = EB / ED

x / y = EB / (EB + BD)

Теперь обратим внимание на треугольник CEN. Мы знаем, что CE / CD = x / y, и угол CEN равен 180 градусов. Так как угол CEN равен 180 градусов, треугольники CEN и CDE подобны друг другу по углам (угол-угол-угол).

Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников также пропорциональны, и мы можем написать:

CE / CD = EN / ND

x / y = EN / (EN + y)

Теперь мы имеем два уравнения:

1. x / y = EB / (EB + BD)
2. x / y = EN / (EN + y)

Сравнив эти уравнения, мы видим, что EB / (EB + BD) = EN / (EN + y).

Далее, умножим обе стороны второго уравнения на (EN + y):

x * (EN + y) = EN * (EB + BD)

Теперь мы знаем, что x = CE и y = CD, так что мы можем переписать это уравнение следующим образом:

CE * (EN + CD) = EN * (EB + BD)

Теперь мы знаем, что CD = CE (поскольку угол CDA равен 60 градусам, и угол CEA также равен 60 градусам, следовательно, треугольники CDA и CEA равны), так что мы можем заменить CD на CE:

CE * (EN + CE) = EN * (EB + BD)

Упростим это уравнение:

CE * (EN + CE) = EN * (EB + BD) CE * EN + CE^2 = EN * (EB + BD)

Теперь мы можем заметить, что EN + CE = CN, и тоже самое EB + BD = AB, так как AB - это длина отрезка от точки A до точки B. Поэтому мы можем переписать уравнение следующим образом:

CE * EN + CE^2 = EN * AB

Теперь мы можем выразить CE * EN в виде CE * EN = CE^2 + EN * AB.

Из этого уравнения видно, что CE * EN равно сумме квадрата длины CE и произведению длины EN и AB.

Теперь давайте вернемся к треугольнику CEN. Мы видим, что CE * EN равно площади треугольника CEN. А сумма квадрата длины CE и произведения длины EN и AB равна квадрату длины CN (теорема Пифагора для треугольника CEN).

Таким образом, мы получаем:

Площадь треугольника CEN = CN^2

Площадь треугольника CEN равна половине произведения его биссектрисы (CE) и суммы других двух сторон (EN и CN). Кроме того, CN - это половина периметра треугольника CEN (CN = 1/2 * (CE + EN)), и AB - это длина стороны треугольника CEN. Таким образом:

(1/2 * CE * (CE + EN)) = (1/2 * AB * AB)

Умножим обе стороны на 2:

CE * (CE + EN) = AB * AB

CE * CN = AB * AB

AB = CN

Итак, мы доказали, что периметр треугольника CEN равен отрезку AB.