Question

Розвяжіть нерівність (3 х+1) (х-4) - 2х(х-2) ≤16-6х

Answer 1

-4≤x≤5

вроде правильно

Answer 2

Давайте розв'яжемо нерівність крок за кроком:

(3x + 1)(x - 4) - 2x(x - 2) ≤ 16 - 6x

1. Розкриємо дужки в перших двох добутках:

(3x^2 - 12x + x - 4) - (2x^2 - 4x) ≤ 16 - 6x

2. Об'єднаємо подібні члени:

(3x^2 - 11x - 4) - (2x^2 - 4x) ≤ 16 - 6x

3. Віднімемо від обох сторін 16 і додамо 6x:

(3x^2 - 11x - 4 - 16) - (2x^2 - 4x - 16) ≤ 0

4. Зробимо поділ на -1, щоб поміняти напрямок нерівності:

(-3x^2 + 11x + 4 + 16) + (2x^2 - 4x + 16) ≥ 0

5. Згрупуємо члени:

(-3x^2 + 2x^2 + 11x - 4x + 4 + 16 + 16) ≥ 0

6. Зведемо подібні члени:

(-x^2 + 7x + 36) ≥ 0

7. Тепер ми маємо квадратичну нерівність. Щоб розв'язати її, знайдемо коефіцієнти для вершини параболи. Відомо, що вершина має координати (-b/2a, f(-b/2a)), де a - коефіцієнт при x^2, b - коефіцієнт при x, і f(x) - функція, в якій ми шукаємо вершину.

У нашому випадку: a = -1 b = 7

x_v = -b / (2a) = -7 / (2 * -1) = 7/2

Тепер знайдемо f(x_v):

f(x_v) = -(-1) * (7/2)^2 + 7 * (7/2) + 36 f(x_v) = -49/4 + 49/2 + 36 f(x_v) = -49/4 + 98/4 + 36 f(x_v) = 49/4 + 36 f(x_v) = 49/4 + 144/4 f(x_v) = 193/4

Отже, вершина має координати (7/2, 193/4). Тепер ми можемо побудувати графік квадратичної функції і з'ясувати, в якому інтервалі вона більше або менше нуля.

markdownCopy code
          /
         /
        /
       /
      /   

---------/--------------- / /

На графіку видно, що функція менше нуля на інтервалах:

1. x < 7/2
2. 7/2 < x < 7

Тепер перевіримо значення функції на цих інтервалах:

1. Для x < 7/2: -x^2 + 7x + 36 < 0 Отже, нерівність виконується на цьому інтервалі.

2. Для 7/2 < x < 7: -x^2 + 7x + 36 > 0 Отже, нерівність не виконується на цьому інтервалі.

Таким чином, розв'язок нерівності:

(3x + 1)(x - 4) - 2x(x - 2) ≤ 16 - 6x

це: x ≤ 7/2 або x > 7.