Question

Автопарк нараховує 10 машин. Ймовірність виходу на лінію кожної з них дорівнює 0,8. Знайти ймовірність нормальної роботи парку, якщо для цього необхідно на лінії мати не менше 8 машин.

Answer 1

Ответ:

Нам надо просуммировать 4 вероятности: что будут работать 9, 10, 11, и 12 машин, то есть P(9), P(10), P(11), P(12). Это решается через формулу Бернулли:

нам придется считать сочетания из N по М - С (из N по М) , и возводить вероятности в степени. Чтобы найти вероятность, что будет задействовано M машин, нам нужна формула:

P(M) =С (из 12 по M)*0,8^M*0,2^(12-M). То есть мы умножаем сочетание на вероятности, возведенные в степени, равные нужному нам событию. Нам надо, чтобы событие произошло M раз, а вероятность его - 0,8, поэтому и 0,8^M. С другой стороны, нам нужно, чтобы противоположное событие произошло 12-M раз, а его вероятность равно 1-0,8=0,2, поэтому 0,2^(12-M). Сочетания считаются по правилам комбинаторики: С (из N по M) = N!/(M!*(N-M)!

P(9) =С (из 12 по 9)*0,8^9*0,2^3 = 12!/(9!*3!)*0,134217728*0,008=0,23622320128

аналогично:

P(M) =С (из 12 по 10)*0,8^10*0,2^2 =12!/(10!*2!)*0,1073741824*0,04=0,283467841536

P(M) =С (из 12 по 11)*0,8^M*0,2^1 = 12!/(11!*1!)*0,08589934592*0,2 = 0,206158430208

P(M) =С (из 12 по 12)*0,8^M*0,2^0 = 12!/(12!*0!)*0,068719476736 = 0,068719476736

Суммируем все это, получается 0,79456894976, или 79,457%

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для знаходження ймовірності нормальної роботи автопарку, коли на лінії має бути не менше 8 машин, ми можемо використати біноміальний розподіл. В даному випадку, ймовірність виходу на лінію кожної машини дорівнює 0,8.

Ми хочемо знати ймовірність того, що 8, 9 або 10 машин вийдуть на лінію. Для цього ми можемо обчислити ймовірність для кожної з цих можливостей і додати їх разом.

Ймовірність того, що k машин вийдуть на лінію з n машин при ймовірності p: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),

де C(n, k) - це коефіцієнт біномінального розподілу, який розраховується за формулою: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!),

де n - кількість спроб (кількість машин), k - кількість успішних спроб (кількість машин, які виходять на лінію), а ! позначає факторіал (n! - це добуток всіх цілих чисел від 1 до n).

Тепер обчислимо ймовірність для 8, 9 і 10 машин, а потім додамо їх разом:

1. Ймовірність, що 8 машин вийдуть на лінію: P(X = 8) = C(10, 8) * (0,8^8) * (0,2^2)

2. Ймовірність, що 9 машин вийдуть на лінію: P(X = 9) = C(10, 9) * (0,8^9) * (0,2^1)

3. Ймовірність, що всі 10 машин вийдуть на лінію: P(X = 10) = C(10, 10) * (0,8^10) * (0,2^0)

Тепер обчислимо кожну з цих ймовірностей:

1. P(X = 8) = 45 * 0,16777216 * 0,04 = 0,30233088
2. P(X = 9) = 10 * 0,134217728 * 0,2 = 0,268435456
3. P(X = 10) = 1 * 0,1073741824 * 1 = 0,1073741824

Тепер додамо ці ймовірності разом:

P(8, 9 або 10 машин на лінії) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) ≈ 0,30233088 + 0,268435456 + 0,1073741824 ≈ 0,6781405224

Отже, ймовірність нормальної роботи автопарку, коли на лінії має бути не менше 8 машин, дорівнює приблизно 0,678 або 67,8%.