Question

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения y'√(1+y^2)=x^2/y

Answer 1

Ответ:

$y '\times \sqrt{1 + {y}^{2} } = \frac{ {x}^{2} }{y} \\ \frac{dy}{dx} \times \sqrt{1 + {y}^{2} } = \frac{ {x}^{2} }{y} \\ \int\limits \: y\sqrt{1 + {y}^{2} } dy = \int\limits {x}^{2} dx \\\frac{1}{2} \int\limits2y \sqrt{1 + {y}^{2} } dy = \frac{ {x}^{3} }{3} + c \\ \frac{1}{2} \int\limits {(1 + {y}^{2}) }^{ \frac{1}{2} } d( {y}^{2} + 1) = \frac{ {x}^{3} }{3} + c \\ \frac{1}{2} \times \frac{ {(1 + {y}^{2}) }^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } = \frac{ {x}^{3} }{3} + C\\ \frac{1}{3} \sqrt{ {(1 + {y}^{2}) }^{3} } = \frac{ {x}^{3} }{3} + C \\ \sqrt{ {(1 + {y}^{2}) }^{3} } = {x}^{3} + C$

общее решение

Answer 2

Давайте найдем общее решение дифференциального уравнения:

dy/dx * √(1 + y^2) = x^2 / y

Сначала давайте разделим переменные, чтобы изолировать y и dy на одной стороне, а x и dx на другой:

dy/√(1 + y^2) = x^2 / (y dx)

Теперь переместим √(1 + y^2) в левую сторону:

dy / √(1 + y^2) = x^2 dy / (y √(1 + y^2))

Теперь давайте сделаем замену переменных, где v = 1 + y^2 и dv = 2y dy:

(1/2) * (1/√v) dv = x^2 (1/2) * (1/√v) dv

Теперь у нас есть следующее уравнение:

(1/2) * (1/√v) dv = (1/2) * x^2 (1/√v) dx

Теперь можно упростить это уравнение:

(1/√v) dv = (1/√v) x^2 dx

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны:

∫(1/√v) dv = ∫(1/√v) x^2 dx

Интегрируя обе стороны, получим:

2√v = (x^3)/3 + C

Теперь вернемся к исходной переменной y:

2√(1 + y^2) = (x^3)/3 + C

Теперь давайте изолируем y:

√(1 + y^2) = (x^3)/6 + C/2

Теперь возводим обе стороны в квадрат:

1 + y^2 = ((x^3)/6 + C/2)^2

y^2 = ((x^3)/6 + C/2)^2 - 1

y^2 = ((x^3)/6 + C/2)^2 - 6/6

y^2 = ((x^3 + 3C)/6)^2 - 6/6

Теперь извлечем квадратный корень:

y = ±√(((x^3 + 3C)/6)^2 - 6/6)

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

y = ±√(((x^3 + 3C)/6)^2 - 6/6)

где C - произвольная постоянная.