Question

Найти интеграл от (x-4/(x-2)*(x-3)) dx

Answer 1

Ответ:

Разделим на простейшие дроби

$\frac{x - 4}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3} \\ x - 4 = A(x - 3) + B(x - 2) \\ x - 4 = Ax - 3A + Bx - 2B \\ \\ 1 = A + B \\ - 4 = - 3 A - 2B \\ \\ A = 1 - B \\ - 3 + 3B- 2B = - 4 \\ \\ B = - 1 \\ A = 2$

Получается

$\int\limits \frac{2dx}{x - 2} - \int\limits\frac{dx}{x - 3} = \\ = 2\int\limits \frac{d(x - 2)}{x - 2} - \int\limits\frac{d(x - 3)}{x - 3} = \\ = 2 ln( |x - 2| ) - ln( |x - 3| ) + c$

Answer 2

Для нахождения интеграла от выражения (x - 4) / ((x - 2) * (x - 3)), мы можем воспользоваться методом частичной дроби.

1. Сначала разложим дробь на частичные дроби: (x - 4) / ((x - 2) * (x - 3)) = A / (x - 2) + B / (x - 3)

2. Умножим обе стороны уравнения на общее кратное знаменателей, чтобы избавиться от дроби: x - 4 = A * (x - 3) + B * (x - 2)

3. Теперь мы можем найти значения A и B, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x. Сначала рассмотрим степень x^0 (свободный член): -4 = -3A - 2B

4. Теперь рассмотрим степень x^1: 1 = A + B

5. Теперь решим эту систему уравнений. Сначала найдем A и B из второго уравнения: A = 1 - B

6. Подставим A в первое уравнение: -4 = -3(1 - B) - 2B

7. Раскроем скобки: -4 = -3 + 3B - 2B

8. Сгруппируем B: -4 = B - 3

9. Теперь найдем B: B = -4 + 3 B = -1

10. Теперь найдем A, используя второе уравнение: A = 1 - (-1) A = 2

Итак, мы получили значения A = 2 и B = -1. Теперь мы можем выразить исходное выражение через частичные дроби:

(x - 4) / ((x - 2) * (x - 3)) = 2 / (x - 2) - 1 / (x - 3)

Теперь мы можем проинтегрировать это выражение:

∫ (2 / (x - 2) - 1 / (x - 3)) dx

Интеграл первого слагаемого (2 / (x - 2)) легко вычисляется как 2 * ln(|x - 2|), а интеграл второго слагаемого (-1 / (x - 3)) равен -ln(|x - 3|). Таким образом, окончательный ответ будет:

2 * ln(|x - 2|) - ln(|x - 3|) + C

где C - константа интеграции.