Question

Після циркової вистави група із 45 дітей залишилася на екскурсію по цирку. Кілька аніматорів розподілили групу так, що кількість дітей, яких розважав кожний аніматор, була однаковою. Якби аніматорів було на 2 особи більше, то в кожного аніматора в групі було б на 6 дітей менше. Складіть рівняння для визначення кількості аніматорів, позначивши її через x. Знайдіть x.​

Answer 1

Відповідь:

    3 аніматора

Покрокове пояснення:

Позначимо початкову кількість аніматорів як х, тоді в кожній групі було б по $\frac{45}{x}$ дітей. Коли кількість аніматорів збільшиться на 2, то кількість дітей у кожній групі буде $\frac{45}{x+2}$ . І цих дітей буде на 6 менше ніж було б при початковій кількості аніматорів. Складаємо рівняння. $\frac{45}{x}$ - 6 = $\frac{45}{x+2}$. Розв'язуємо. $\frac{45}{x}$ - 6 - $\frac{45}{x+2}$ = 0; $\frac{45(x+2)-6x(x+2)-45x}{x(x+2)}$ = 0; $\frac{45x+90-6x^2-12x-45x}{x(x+2)}$ = 0;

$\frac{-6x^2-12x+90}{x(x+2)}$ = 0; x≠0; x≠-2; -6x^2-12x+90=0 : -6; x^2+2x-15=0; Корені за Т.Вієта -5 і 3. -5 нам не підходить, бо кількість не може бути від'ємною, отже відповідь 3.

Answer 2

Позначимо кількість аніматорів, яку потрібно знайти, через x.

За умовою задачі, відомо, що кількість дітей ділилася на аніматорів націло, тобто x є додатним цілим числом. Кожен аніматор розважав однакову кількість дітей.

Також відомо, що якщо аніматорів було на 2 особи більше, то кожний аніматор мав би на 6 дітей менше.

Маємо наступне рівняння: $\frac{45}{x} = \frac{45}{x + 2} + 6$.

Розглянемо його крок за кроком:

1. 45 дітей були розділені між x аніматорами, отже, кожен аніматор розважав $\frac{45}{x}$ дітей.
2. Якщо аніматорів було на 2 більше, то кожний аніматор мав би $\frac{45}{x + 2}$ дітей.
3. Крім того, кожен аніматор мав би на 6 дітей менше, тому додаємо 6 до кожного аніматора, тобто $\frac{45}{x + 2} + 6$ дітей.

Тепер спростимо рівняння та знайдемо значення x: $\frac{45}{x} = \frac{45}{x + 2} + 6$ $\frac{45}{x} - \frac{45}{x + 2} = 6$

Знайшли спільний знаменник: $\frac{45(x + 2) - 45x}{x(x + 2)} = 6$

Спростимо чисельник та деномінатор: $\frac{45x + 90 - 45x}{x(x + 2)} = 6$ $\frac{90}{x(x + 2)} = 6$

Розділимо обидві сторони на 6: $\frac{90}{6} = x(x + 2)$ $15 = x(x + 2)$

Розкриємо дужки та спростимо рівняння: $15 = x^2 + 2x$

Переносимо все в одну сторону: $x^2 + 2x - 15 = 0$

Це квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою факторизації: $(x + 5)(x - 3) = 0$

Таким чином, маємо два можливі значення x:

1. $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$ (не підходить, оскільки x має бути додатнім цілим числом)
2. $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

Отже, кількість аніматорів (позначена через x) дорівнює 3.