Question

Дано три числа: 2;1+√2;1-√2. За один хід дозволяється написати три нові числа, замінивши кожне з даних чисел півсумою двох iнших. Чи можна, виконавши цю операцію кілька разів, дістати набір таких чисел: 1; 2 +√2;2-√?

Answer 1

Ответ:

1)2900 2)4 ..............,...

Answer 2

Так, це можливо. Давайте розглянемо кожен крок операції:

Маємо три числа: $a = 2$, $b = 1 + \sqrt{2}$ і $c = 1 - \sqrt{2}$.

Крок 1: Півсума $a$ і $b$ дає $\frac{a+b}{2} = \frac{2+(1+\sqrt{2})}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$. Півсума $a$ і $c$ дає $\frac{a+c}{2} = \frac{2+(1-\sqrt{2})}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$. Півсума $b$ і $c$ дає $\frac{b+c}{2} = \frac{(1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})}{2} = 1$.

Отже, ми отримали новий набір чисел: $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$, $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ і $1$.

Крок 2: Півсума $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ і $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ дає $1$. Півсума $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ і $1$ дає $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$. Півсума $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ і $1$ дає $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Отже, ми отримали потрібний набір чисел: $1$, $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ і $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Зазначте, що це лише один із способів досягнути потрібного набору чисел, і є багато інших шляхів, які можна використовувати для вирішення цієї задачі.