Question

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z =xy-2x-y в области D : y =0, x= 0, x = 3, y = 4 . попогите плиз

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Найдем частние производние и приравняем их к 0 → найдем критические точки

dz/dx=y-2=0

dz/dy=x-1=0

M(0;0)

d^2z/dx^2=0

d^2z/dy^2=0

d^2/dxdy=1

△=0×0-1=1<0 → екстремума в точке нет

Найдем значение функции на границах области

у=0 и хє[0, 3]

z=-2x

z'=-2

y=4 и хє[0, 3]

z=4x-2x-4=2x-4

x=0 и yє[0, 4]

z=-y

x=3 и yє[0, 4]

z=3y-6-y=2y-6

На области z линейная, поетому минимальное и максимальное хначение только в вершинах области

Найдем значения z

z(0,0)=0

z(3,0)=-6

z(0,4)=-4

z(3;4)=12-6-4=2

Наибольшее значение в точке (3, 4)

Наименьшее (3, 0)

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции z = xy - 2x - y в заданной области D, нам нужно:

1. Вычислить значения функции z в угловых точках области D.
2. Вычислить значения функции z на границах области D.
3. Вычислить частные производные функции z по x и y и решить систему уравнений для поиска критических точек внутри области D.
4. Вычислить значения функции z в найденных критических точках.
5. Сравнить все найденные значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее.

Давайте начнем с вычисления значений в угловых точках области D:

1. z(0, 0) = 0 * 0 - 2 * 0 - 0 = 0
2. z(0, 4) = 0 * 4 - 2 * 0 - 4 = -4
3. z(3, 0) = 3 * 0 - 2 * 3 - 0 = -6
4. z(3, 4) = 3 * 4 - 2 * 3 - 4 = 4

Теперь вычислим значения функции z на границах области D:

5. На границе y = 0, мы имеем z(x, 0) = x * 0 - 2x - 0 = -2x. Минимальное значение будет при x = 3 (на границе D), и z(3, 0) = -6.
6. На границе x = 0, мы имеем z(0, y) = 0 * y - 2 * 0 - y = -y. Максимальное значение будет при y = 4 (на границе D), и z(0, 4) = -4.
7. На границе x = 3, мы уже рассмотрели это значение, которо равно 4.
8. На границе y = 4, мы уже рассмотрели это значение, которо равно -4.

Теперь найдем критические точки внутри области D. Для этого вычислим частные производные функции z по x и y и приравняем их к нулю:

∂z/∂x = y - 2 = 0 ∂z/∂y = x - 1 = 0

Из первого уравнения следует, что y = 2, а из второго, что x = 1. Эти значения являются критическими точками. Теперь вычислим значение функции z в этих точках:

9. z(1, 2) = 1 * 2 - 2 * 1 - 2 = 0

Итак, у нас есть следующие значения функции z:

• Минимальное значение: -6
• Максимальное значение: 4
• Значение в критической точке: 0

Таким образом, наименьшее значение функции z равно -6 (достигается на границе D, y = 0), а наибольшее значение равно 4 (достигается на границе D, x = 3). Критическая точка (1, 2) имеет значение 0, но не находится на границе D.