Question

Вычислите sin куб альфа + cos куб альфа, если sin альфа + cos альфа = 1 / 3

Answer 1

Ответ:

Ответ показан на картинке.

Answer 2

Давайте воспользуемся тождеством для вычисления $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha$. Сначала мы представим $\sin^3 \alpha$ и $\cos^3 \alpha$ в виде суммы кубов:

$\sin^3 \alpha = (\sin \alpha)^3 = \left(\frac{1}{3} - \cos \alpha\right)^3$ $\cos^3 \alpha = (\cos \alpha)^3 = \left(\frac{1}{3} - \sin \alpha\right)^3$

Теперь используем бином Ньютона для кубов и заметим, что $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}$. Мы получим:

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = \left(\frac{1}{3} - \cos \alpha\right)^3 + \left(\frac{1}{3} - \sin \alpha\right)^3$

Теперь мы можем разложить каждый куб, используя бином Ньютона:

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = \frac{1}{27} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{9} + \cos \alpha - \frac{1}{27} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{9} + \sin \alpha$

Упростим это выражение:

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = \frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \cos \alpha - \frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \sin \alpha$

Теперь объединим похожие члены:

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = \frac{1}{27} - \frac{1}{27} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} + \cos \alpha + \sin \alpha$

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = -\frac{2}{9} + \frac{1}{3}$

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = \frac{1}{3} - \frac{2}{9} = \frac{3}{9} - \frac{2}{9} = \frac{1}{9}$

Итак, $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = \frac{1}{9}$.