Question

Решить дифференциальное уравнение y'=sinx*cosx Срочно, пожалуйста

Answer 1

Ответ:

$y' = \sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2} \times 2 \sin(x) \cos(x) = \\ = \frac{1}{2} \sin(2x) \\ y = \frac{1}{2} \int\limits \sin(2x) dx = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \int\limits \sin(2x) d(2x) = \\ = - \frac{1}{4} \cos(2x) + C$

общее решение

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения y' = sin(x) * cos(x) мы можем использовать метод разделения переменных. Давайте начнем с записи уравнения:

dy/dx = sin(x) * cos(x)

Теперь разделим переменные, перемещая все, что связано с y, на одну сторону уравнения, а все, что связано с x, на другую сторону:

dy / (sin(x) * cos(x)) = dx

Теперь проинтегрируем обе стороны. Для левой стороны мы можем воспользоваться тригонометрической заменой:

∫(1 / (sin(x) * cos(x))) dy = ∫dx

Теперь заменим sin(x) и cos(x) на тригонометрический тангенс:

∫(1 / (sin(x) * cos(x))) dy = ∫(1 / (1/2 * sin(2x))) dy ∫(2 / sin(2x)) dy = ∫dx

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(2 / sin(2x)) dy = ∫dx

Для левой стороны мы можем использовать замену переменных, где t = 2x:

∫(2 / sin(2x)) dy = ∫(1 / sin(t)) dt

Теперь интегрируем обе стороны:

2∫(1 / sin(t)) dt = ∫dx

Интеграл левой стороны можно выразить через логарифмическую функцию:

2ln|tan(t/2)| = x + C

Теперь вернемся к переменной x, используя t = 2x:

2ln|tan(x)| = x + C

Теперь можно избавиться от логарифмической функции, возведя обе стороны уравнения в экспоненту:

|tan(x)|^2 = e^((x + C)/2)

Теперь учтем, что |tan(x)|^2 = tan^2(x), и получим:

tan^2(x) = e^((x + C)/2)

Теперь можно найти константу C, зная начальное условие. Если у вас есть начальное условие, пожалуйста, предоставьте его, чтобы найти конкретное решение.