Question

При каких значениях a функция y = ax^3 + 2x^2 + 4xa - 12 возрастает для любых x € R

Answer 1

Ответ:Функция возрастает на интервале, если производная ее положительна в каждой точке интервала. Ищем производную у' = (x³-3x²+ax)' =3x²-6x+a.

Ищем значения а, при которых производная будет положительна при всех х.

Для этого парабола 3x²-6x+a не должна пересекать ОХ, Значит D трехчлена должен быть отрицательным.(-6)²-4*3*а<0

36 -12a<0

-12a<-36

a>3. При таких а функция возрастает на всей числовой прямой.

Answer 2

Функция y = ax^3 + 2x^2 + 4ax - 12 будет возрастать для любых x ∈ R, если её производная y'(x) положительна для всех x ∈ R.

Для этого нужно найти производную функции y по x и проверить, при каких значениях параметра a она всегда положительна.

Производная функции y по x:

y'(x) = 3ax^2 + 4x + 4a

Теперь, чтобы узнать, при каких значениях a производная всегда положительна, можно воспользоваться методом анализа знаков. Это означает, что мы хотим, чтобы выражение 3ax^2 + 4x + 4a было положительным для всех x ∈ R.

Давайте разберемся, какие значения a удовлетворяют этому условию.

1. Посмотрим на знак выражения при x = 0: 3a0^2 + 40 + 4a = 4a Это выражение всегда положительно, если a > 0.

2. Рассмотрим случай, когда a < 0: 3ax^2 + 4x + 4a = 3a(x^2 + (4/3a)x + 4/3) Это выражение будет положительным только если x^2 + (4/3a)x + 4/3 > 0.

Для того чтобы квадратное выражение x^2 + (4/3a)x + 4/3 было положительным для всех x, дискриминант этого выражения должен быть меньше нуля, иначе у него будут корни, при которых оно станет отрицательным.

Дискриминант D квадратного выражения ax^2 + bx + c равен b^2 - 4ac. В данном случае b = 4/3a, a = 1, и c = 4/3. Подставляем значения:

D = (4/3a)^2 - 41(4/3) D = (16/9a^2) - 16/3

D < 0, чтобы x^2 + (4/3a)x + 4/3 было положительным для всех x. Решим неравенство:

(16/9a^2) - 16/3 < 0

Умножим обе стороны на 9a^2, чтобы избавиться от дробей:

16 - 48a^2 < 0

Теперь выразим a:

48a^2 > 16 a^2 > 16/48 a^2 > 1/3

Чтобы это выполнялось, a должно быть больше 1/√3 или меньше -1/√3.

Итак, функция y = ax^3 + 2x^2 + 4ax - 12 будет возрастать для любых x ∈ R, если a > 0 или a < -1/√3.