Question

Ровно в полдень из посёлка выехал грузовик и поехал в город, в это же время из города выехал автомобиль и поехал в посёлок. Если бы грузовик выехал на 45 минут раньше, то они бы встретились на 36 километров ближе к городу. А если бы автомобиль выехал на 20 минут раньше, то они бы встретились на k километров ближе к посёлку. Найдите k. *умерла*

Answer 1

Ответ:

16 км

Пошаговое объяснение:

Из поселка в город выехал грузовик и поехал со скоростью vg км/ч.

Одновременно из города в поселок выехал автомобиль со скоростью va км/ч.

Расстояние между городом и поселком обозначим S км.

В момент встречи они вместе проехали это расстояние S км.

Скорость сближения равна v = vg+va км/ч.

Время встречи t = S/v = S/(vg+va) ч

Расстояние от точки встречи до города равно тому расстоянию, которое автомобиль успел проехать за время t ч.

Sg = va*t = S*va/(vg+va)

Расстояние до поселка - это расстояние, которое грузовик успел проехать за тоже время t.

Sp = vg*t = S*vg/(vg+va)

Если бы грузовик выехал на 45 мин = 3/4 ч раньше, то проехал бы vg*3/4 = 3vg/4 км один, и только после этого автомобиль выехал из города.

То есть они бы проехали вместе расстояние S - 3vg/4 км.

И встретились бы они на расстоянии от города

Sg1 = (S - 3vg/4)*va/(vg+va)

И это расстояние на 36 км меньше, чем ранее посчитанное Sg.

(S - 3vg/4)*va/(vg+va) = S*va/(vg+va) - 36 (1)

Если бы автомобиль выехал на 20 мин = 1/3 ч раньше, то проехал бы va/3 км один, и только после этого грузовик выехал из поселка.

То есть они бы проехали вместе расстояние S - va/3 км.

И встретились бы они на расстоянии от поселка

Sp1 = (S - va/3)*vg/(vg+va)

И это расстояние на k км меньше, чем ранее посчитанное Sp.

(S - va/3)*vg/(vg+va) = S*vg/(vg+va) - k (2)

Получили систему уравнений (1) и (2). Раскрываем скобки.

{ S*va/(vg+va) - 3vg*va/(4(vg+va)) = S*va/(vg+va) - 36

{ S*vg/(vg+va) - va*vg/(3(vg+va)) = S*vg/(vg+va) - k

Приводим подобные

{ -(3/4)*vg*va/(vg+va) = -36

{ -(1/3)*vg*va/(vg+va) = -k

Из 1 уравнения получаем:

vg*va/(vg+va) = 36*4/3 = 48

Подставляем во 2 уравнение:

k = 1/3*48 = 16 км

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей. Пусть $x$ - время (в минутах), через которое грузовик и автомобиль встретились бы в исходной ситуации. По условию, мы знаем следующее:

1. Встретились бы на 36 километров ближе к городу, если бы грузовик выехал на 45 минут раньше: это означает, что за $x + 45$ минут они проехали бы на 36 км больше, чем в исходной ситуации.

2. Встретились бы на $k$ километров ближе к посёлку, если бы автомобиль выехал на 20 минут раньше: это означает, что за $x - 20$ минут они проехали бы на $k$ км больше, чем в исходной ситуации.

Мы можем использовать следующее равенство, исходя из того, что расстояние = скорость × время:

$36 = \frac{36}{x+45} \times \text{скорость}$ $k = \frac{k}{x-20} \times \text{скорость}$

Поскольку скорость грузовика и автомобиля одинакова, скорость не влияет на разницу в расстоянии между ними.

Теперь, мы можем объединить эти уравнения:

$\frac{36}{x+45} = \frac{k}{x-20}$

Чтобы найти $k$, давайте упростим это уравнение:

$36(x-20) = k(x+45)$ $36x - 720 = kx + 2025$

Теперь выразим $k$ через $x$:

$k = \frac{36x - 720}{x + 2025}$

Это уравнение позволяет нам вычислить значение $k$, если известно значение времени $x$. Пожалуйста, укажите значение времени $x$, чтобы я мог рассчитать $k$.