Question

Найдите монотонность и экстремум функции (убывание уменьшение,max,min)y=2/3x³-2x-1​

Answer 1

Ответ:

y'=2/3•3x^2-2

y'=2x^2-2

2x^2-2=0

x^=1

x=1 и -1

х=1 минимум

х=-1 максимум

(-бесконечность -1)обьединение(1:+бесконечность ) функция возрастает

(-1:1)функция убывает

Answer 2

Для нахождения монотонности и экстремумов функции $y = \frac{2}{3}x^3 - 2x - 1$, нам нужно выполнить несколько шагов. Начнем с нахождения производной функции $y'(x)$:

$y'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}x^3 - 2x - 1\right).$

Для нахождения производной, мы можем применить правило степени и правило линейности производной:

$y'(x) = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - 2 \cdot 1 - 0$ $y'(x) = 2x^2 - 2.$

Теперь найдем точки, где $y'(x) = 0$, так как экстремумы происходят в таких точках:

$2x^2 - 2 = 0.$

Добавим 2 к обеим сторонам уравнения:

$2x^2 = 2.$

Теперь разделим обе стороны на 2:

$x^2 = 1.$

Чтобы найти значения $x$, удовлетворяющие этому уравнению, нужно взять квадратные корни:

$x = \pm 1.$

Таким образом, у нас есть две критические точки: $x = 1$ и $x = -1$.

Теперь определим монотонность функции в интервалах между и за пределами этих критических точек. Для этого можно использовать тестирование производной или построение знаковой таблицы. Я воспользуюсь знаковой таблицей. Выпишем интервалы и определим знаки производной в этих интервалах:

1. Для $x < -1$, возьмем $x = -2$ (за пределами критических точек):

   • $y'(-2) = 2(-2)^2 - 2 = 8 - 2 = 6$. Знак положительный.

2. Для $-1 < x < 1$, возьмем $x = 0$ (между критическими точками):

   • $y'(0) = 2(0)^2 - 2 = -2$. Знак отрицательный.

3. Для $x > 1$, возьмем $x = 2$ (за пределами критических точек):

   • $y'(2) = 2(2)^2 - 2 = 8 - 2 = 6$. Знак положительный.

Исходя из знаков производной на этих интервалах, мы можем сделать следующие выводы:

• Функция $y$ убывает на интервале $-\infty, -1$.
• Функция $y$ возрастает на интервале $-1, 1$.
• Функция $y$ снова убывает на интервале $1, +\infty$.

Теперь давайте найдем экстремумы. Экстремум - это точка, в которой производная равна нулю. У нас уже есть две критические точки, где $y'(x) = 0$: $x = 1$ и $x = -1$.

Для $x = -1$:

• $y(-1) = \frac{2}{3}(-1)^3 - 2(-1) - 1 = -\frac{2}{3} + 2 - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}.$

Для $x = 1$:

• $y(1) = \frac{2}{3}(1)^3 - 2(1) - 1 = \frac{2}{3} - 2 - 1 = \frac{2}{3} - \frac{6}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{7}{3}.$

Таким образом, у нас есть два экстремума:

• Минимум при $x = -1$