Question

Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція f(x) =(x^3/3)+(((a-1)x^2)/2)- 9x+8 спадає на множині дійсних чисел. ​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$f(x) = \frac{x^3}{3}+ \frac{ (a-1)x^2}{2}- 9x+8$

Найти значения параметра а, при которых ф- ия убывает на R

Решение:

Функция f(x) определена на R.

Убывание функции на R означает, что на всей D(f) должно выполняться неравенство:

f'(x) < 0

Определим производную ф-ии

$f(x) = \frac{x^3}{3}+ \frac{ (a-1)x^2}{2}- 9x+8 \\ f'(x) = \bigg(\frac{x^3}{3}+ \frac{ (a-1)x^2}{2}- 9x+8 \bigg)'= \\ = \big(\frac{x^3}{3}\big)'+\big(\frac{ (a-1)x^2}{2}\big)'-(9x)'+(8)'= \\ = \frac{3x^2}{3}+ \frac{ 2(a-1)x^1}{2}- 9x^{0} +0 = \\ = {x}^{2} + (a-1)x- 9$

Для убывания ф-ии на R необходимо выполнение неравенства

${x}^{2} + (a-1)x- 9 < 0$

D = (a-1)^2-4 \cdot(-9)= (a-1)^2+36

$D = (a-1)^2-4 \cdot(-9)= (a-1)^2+36 \\ D \geqslant 36 \: \forall \: {a} = > \\ = > \: \forall \: {a} \: \exists \: x \: _{для \: кот-го} \: y'(x) \geqslant 0 \\ = > \cancel{\exists} \: a \: npu \: kom. \: f(x) \downarrow \: \forall{x} \: \in \: \R$

Answer 2

Щоб функція спадала на множині дійсних чисел, її похідна повинна бути меншою за нуль на цій множині. Отже, спочатку ми знайдемо похідну функції f(x) і після цього знайдемо умову, за якої вона буде меншою за нуль.

Функція f(x) задана як: f(x) = (x^3/3) + (((a-1)x^2)/2) - 9x + 8

Знайдемо похідну функції f(x) за змінною x: f'(x) = (d/dx)[(x^3/3) + (((a-1)x^2)/2) - 9x + 8] f'(x) = (1/3)x^2 + (a-1)x - 9

Тепер нам потрібно знайти умову, за якої ця похідна буде меншою за нуль на множині дійсних чисел. Це означає, що дискримінант квадратного рівняння f'(x) має бути менший за нуль (оскільки коефіцієнт при першому ступені x є додатнім):

Дискримінант = (a-1)^2 - 4*(1/3)*(-9) < 0

Розкриваємо дужки: a^2 - 2a + 1 - 12 < 0

a^2 - 2a - 11 < 0

Тепер знайдемо корені цього квадратного нерівності. Для цього знайдемо кількість і місця зміни знаку, розв'язавши асоційоване квадратне рівняння a^2 - 2a - 11 = 0:

a = (2 ± √(2^2 - 4*(-11)) / 2 a = (2 ± √(4 + 44)) / 2 a = (2 ± √48) / 2 a = (2 ± 4√3) / 2

Тепер знаходимо корені: a₁ = (2 + 4√3) / 2 = 1 + 2√3 a₂ = (2 - 4√3) / 2 = 1 - 2√3

Отже, функція f(x) спадає на множині дійсних чисел, коли a належить інтервалу (-∞, 1 - 2√3) об'єднаного з (1 + 2√3, ∞).