Question

найти все значения параметра а, при котором уравнение х+√(16-х^2) = a имеет единственное решение, напишите решение, пожалуйста

Answer 1

Заданное уравнение х+√(16-х^2) = a представим так:

√(16-х^2) = -х + a.

Левая часть - уравнение полуокружности в положительной полуплоскости, правая - уравнение прямой, в котором параметр а соответствует ординате точки пересечения с осью Оу.

Возведём в квадрат.

16-х^2 = х²- 2aх + а².

Получили квадратное уравнение:

2х²- 2aх + (а² - 16) = 0.

Дискриминант D = 4a²- 4*2*(а² - 16) = -4а² + 128.

Уравнение имеет единственное решение, если дискриминант равен нулю:

-4а² + 128 = -4(а² - 32) = 0.

Отсюда а = +-4√2.

Но так как на промежутке а = (4...4√2) имеется 2 решения, а значение а =  -4√2 выходит из области определения, то в ответ включаем:

-4 <= а < 4, а = 4√2.

Answer 2

Для того чтобы найти все значения параметра "а", при которых уравнение х + √(16 - х^2) = а имеет единственное решение, мы можем воспользоваться графическим методом. Сначала давайте построим график этого уравнения.

Уравнение:

x + √(16 - x^2) = a

Мы видим, что здесь есть корень √(16 - x^2), который ограничен значением x от -4 до 4 (так как -4 ≤ x ≤ 4, чтобы избежать комплексных чисел под корнем). Давайте построим график этой функции для нескольких значений "а".

1. Пусть a = 0: Уравнение становится: x + √(16 - x^2) = 0 Построим график:

   График пересекается с осью x в двух точках: x = -4 и x = 4.

2. Пусть a > 0: Теперь давайте рассмотрим случай, когда "а" положительное. Уравнение будет иметь следующий вид: x + √(16 - x^2) = a

   Этот график будет представлять собой положительную линию, которая пересекается с положительным корнем √(16 - x^2). График будет иметь точку касания с осью x в x = 0, и после этого будет двигаться вверх.

3. Пусть a < 0: Теперь рассмотрим случай, когда "а" отрицательное. Уравнение будет иметь следующий вид: x + √(16 - x^2) = a

   Этот график будет представлять собой положительную линию, которая пересекается с положительным корнем √(16 - x^2). График будет иметь точку касания с осью x в x = 0 и затем будет двигаться вниз.

Таким образом, уравнение будет иметь единственное решение только в случае, когда "а" находится в интервале (0, положительное число), так как график будет пересекать положительный корень √(16 - x^2) в единственной точке. В остальных случаях, уравнение может иметь ноль, одно или два решения.

Поэтому ответ на ваш вопрос: уравнение x + √(16 - x^2) = а имеет единственное решение только при 0 < а < 4.