Question

Найдите все такие простые p, что p²+14-тоже простое

Answer 1

Ответ: 3

Пошаговое объяснение:

Предположим, что p≠3

Тогда, поскольку число p, простое, то при делении на 3 оно может давать остатки: 1 или 2.

Тогда p можно представить в таком виде:

p = 3k+-1, но тогда

p^2 = (3k+-1)^2 = 9k^2 +-6k + 1 = 3n + 1 - дает остаток 1 при делении на 3.

k,n - натуральные числа.

Но тогда,  

p^2 + 14  = 3n+1 + 14 = 3n+15 - делится на 3, но раз p^2 + 14 простое, то p^2 +14 = 3, однако, при любом простом p: p^2 + 14 > 3, то есть мы пришли к противоречию, такое невозможно.

Остается проверить вариант, когда p = 3

Этот вариант подходит:

p = 3

p^2 + 14 = 9 + 14 = 23 - простое

Answer 2

Для поиска всех таких простых чисел p, для которых p^2 + 14 также является простым, мы можем перебирать значения p и проверять, удовлетворяют ли они этому условию. Начнем с p = 2 и будем увеличивать его на 1 и проверять каждое значение.

1. При p = 2: 2^2 + 14 = 18. 18 не является простым числом.
2. При p = 3: 3^2 + 14 = 23. 23 является простым числом.
3. При p = 4: 4^2 + 14 = 30. 30 не является простым числом.
4. При p = 5: 5^2 + 14 = 39. 39 не является простым числом.
5. При p = 6: 6^2 + 14 = 50. 50 не является простым числом.
6. При p = 7: 7^2 + 14 = 63. 63 не является простым числом.
7. При p = 8: 8^2 + 14 = 78. 78 не является простым числом.
8. При p = 9: 9^2 + 14 = 95. 95 не является простым числом.
9. При p = 10: 10^2 + 14 = 114. 114 не является простым числом.

Таким образом, единственным простым числом, удовлетворяющим условию p^2 + 14 - это p = 3.