Question

Пусть {bn} —возрастающая геометрическая прогрессия с положительными членами. Найдите ее знаменатель, если b4-b1 =14 и b3-b2 = 4.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

b₄ -b₁ = 14     b₁*q³ - b₁ = 14    b₁ (q³ -1) = 14

b₃ -b₂ = 4      b₁q² -b₁q = 4   b₁(q²-q) = 4

выразим  b₁ из первого и второго и приравняем полученные значения

$\displaystyle \frac{14}{q^3-1} =\frac{4}{q^2-q} \\\\14q^2-14q -4q^3+4 =0$

решим кубическое уравнение

$\displaystyle -4(q-1)(q^2+q+1)+14q(q-1)=0\\\\(q-1)(-4q^2+10q-4)=0\\\\q_1=1\\q_2=0.5\\q_3=2$

поскольку у нас возрастающая геометрическая прогрессия, то нам подходит только один корень

q = 2

Answer 2

Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии {bn} нам понадобятся два уравнения, которые связывают разности соседних членов этой прогрессии. Эти уравнения:

1. b4 - b1 = 14
2. b3 - b2 = 4

Мы знаем, что геометрическая прогрессия определяется следующим образом:

bn = b1 * r^(n-1)

где bn - n-й член прогрессии, b1 - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии, n - номер члена прогрессии.

Мы можем использовать уравнения (1) и (2), чтобы определить знаменатель r:

1. b4 - b1 = 14 b1 * r^3 - b1 = 14

2. b3 - b2 = 4 b1 * r^2 - b1 * r = 4

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Сначала выразим b1 * r из уравнения (2):

b1 * r^2 - b1 * r = 4 b1 * r * (r - 1) = 4

Теперь подставим это значение в уравнение (1):

b1 * r^3 - b1 = 14 (b1 * r * (r - 1)) * r^2 - b1 = 14

Теперь мы имеем уравнение с одной переменной r:

(4) * r^2 - b1 = 14

Теперь мы можем выразить b1 через r:

b1 = 4r^2 - 14

Теперь подставим это выражение для b1 в уравнение (2) и решим его:

4r^2 - 14 * r - 14 = 4 4r^2 - 14 * r - 18 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:

D = (-14)^2 - 4 * 4 * (-18) = 196 + 288 = 484

Теперь найдем значения r, используя квадратное уравнение:

r1 = (-(-14) + √484) / (2 * 4) = (14 + 22) / 8 = 36 / 8 = 4.5 r2 = (-(-14) - √484) / (2 * 4) = (14 - 22) / 8 = -8 / 8 = -1

Так как рассматриваем положительные члены геометрической прогрессии, то r = 4.5.

Теперь у нас есть значение r, и мы можем найти знаменатель:

r = 4.5

Итак, знаменатель геометрической прогрессии {bn} равен 4.5.