Question

Найдите произведение наибольшего целого отрицательного и наименьшего целого положительного решения неравенства |4x-7|+|x+6|>|3x-13|

Answer 1

Ответ:

-14

Пошаговое объяснение:

Докажем , что | a |  + | b |  > | a+b|  ⇔ a·b  < 0  ,   возведём неравенство в

квадрат :  a² + b² + 2|ab| > a² + b² +2ab  ⇔ |ab| >ab ⇔ ab <0  ;  

пусть  a = 4x-7  ; b = -x-6  ,   тогда  исходное неравенство примет вид :  

 | a |  + | b |  > | a+b|  и  по доказанному равносильно неравенству :  a·b < 0

 или  : ( 4x-7) (-x-6) <0   ; (4x-7) (x+6) >0  ⇔ x ∈ ( -∞ ; -6) ∪ ( 7/4 ; +∞ ) ;

 наименьшее  целое   положительное  равно 2  , а  наибольшее целое

 отрицательное равно   -7  ;   -7 · 2  =  -14  

Answer 2

Ответ:

-14

Пошаговое объяснение:

Найдем нули подмодульных функций:

4x-7 = 0 ⇒ x = 7/4

x+6 = 0 ⇒ x = -6

3x-13 = 0 ⇒ x = 13/3

Нанесем их на числовую прямую и для наглядности проставим на каждом промежутке ряд из трех знаков "+" или "-". Первый совпадает со знаком 4x-7 на этом промежутке, второй — x+6, третий — 3x-13.

   - - -          - + -           + + -            + + +

¯¯¯¯¯¯¯¯(-6)¯¯¯¯¯¯¯¯(7/4)¯¯¯¯¯¯¯¯(13/3)¯¯¯¯¯¯¯¯  

Раскроем модули на каждом промежутке:

1) (-∞; -6)

$\begin{cases} x< -6\\-(4x-7)-(x+6)>-(3x-13) \end{cases}\\\begin{cases} x< -6\\-4x+7-x-6>-3x+13 \end{cases}\\\begin{cases} x< -6\\-4x-x+3x>13-7+6 \end{cases}\\\begin{cases} x< -6\\-2x>12 \end{cases}\\\begin{cases} x< -6\\x$

2) [-6; 7/4)

$\begin{cases} -6\leq x< \frac{7}{4} \\-(4x-7)+x+6>-(3x-13) \end{cases}\\\begin{cases} -6\leq x< \frac{7}{4} \\-4x+7+x+6>-3x+13 \end{cases}\\\begin{cases} -6\leq x< \frac{7}{4} \\-4x+x+3x>13-7-6 \end{cases}\\\begin{cases} -6\leq x< \frac{7}{4} \\0x>0, \; x\in\varnothing \end{cases}\\x\in\varnothing$

3) [7/4; 13/3)

$\begin{cases} \frac{7}{4}\leq x-(3x-13) \end{cases}\\\begin{cases} \frac{7}{4}\leq x-3x+13 \end{cases}\\\begin{cases} \frac{7}{4}\leq x13+7-6 \end{cases}\\\begin{cases} \frac{7}{4}\leq x14 \end{cases}\\\begin{cases} \frac{7}{4}\leq x\frac{7}{4} \end{cases}\\x\in\big(\frac{7}{4};\frac{13}{3}\big)$

4) [13/3; +∞)

$\begin{cases} x\geq \frac{13}{3}\\4x-7+x+6>3x-13 \end{cases}\\\begin{cases} x\geq \frac{13}{3}\\4x+x-3x>-13+7-6 \end{cases}\\\begin{cases} x\geq \frac{13}{3}\\2x>-12 \end{cases}\\\begin{cases} x\geq \frac{13}{3}\\x>-6 \end{cases}\\x\in\big[\frac{13}{3} ; +\infty\big)$

Объединив промежутки, получим множество решений неравенства:

$x\in\big(-\infty; -6\big)\cup\big(\frac{7}{4};+\infty\big)$

Тогда наибольшее целое отрицательное решение равно -7, а наименьшее целое положительное — 2, их произведение -7×2 = -14.

Answer 3

Давайте рассмотрим неравенство |4x - 7| + |x + 6| > |3x - 13|.

1. Начнем с рассмотрения случая, когда x положительное: 4x - 7 + x + 6 > 3x - 13

Сокращаем подобные члены и решаем: 5x - 1 > 3x - 13

Переносим 3x на другую сторону неравенства: 5x - 3x > -13 + 1

2x > -12

x > -6

2. Теперь рассмотрим случай, когда x отрицательное: |-(4x - 7)| + |x + 6| > |3x - 13|

Умножим обе стороны на -1, чтобы сделать x положительным: |4x - 7| + |-(x + 6)| > |3x - 13|

Это эквивалентно первому случаю: |4x - 7| + |x + 6| > |3x - 13|

Мы уже рассмотрели этот случай выше, и получили x > -6.

Итак, наши решения для x, когда x положительное и отрицательное, одинаковы: x > -6.

Теперь найдем наибольшее целое отрицательное и наименьшее целое положительное решение:

Наибольшее целое отрицательное значение - это -6. Наименьшее целое положительное значение - это 0.

Теперь найдем произведение этих значений: -6 * 0 = 0

Ответ: Произведение наибольшего целого отрицательного (-6) и наименьшего целого положительного (0) решения неравенства равно 0.