Question

Решите в целых числах уравнение x⁴=y⁴+2y²+157​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

x⁴=y⁴+2y²+157​

x⁴=y⁴+2y²+1+156​

x⁴=(y²+1)²+156

надо найти число которое если возвести в квадрат и прибавить 156 то получилась  бы четвертая степень числа .

это число будет  y²+1  а четверта степень это х в четвертой степени .

методом подбора

10²=100

100+156=256=4⁴

y²+1=10

y²=9

y=±3

х⁴=4⁴

x=±4

x=±4  ; y=±3

решения

x=-4; y=-3

x=-4; y=3

x=4; y=-3

x=4; y=3

​

Answer 2

Ответ:

х=4 или х=-4

у=3 или у=-3

решения: (4,3); (-4,3);(4,-3);(-4,-3)

Пошаговое объяснение:

x^4=(y^2+1)^2+156

(x^2-y^2-1)(x^2+y^2+1)=156*1=78*2=39*4=13*12=52*3=26*6

отрицательных сомножителей быть не может.

будем перебирать варианты :

x^2-y^2-1=1

x^2+y^2+1=156

2x^2=157  не подходит

замечаем что полусумма множителей должна быть полным квадратом:

годится лишь пара 26 и 6

x^2=16

y^2+1=10

у=3 или у=-3

х=4 или х=-4

Answer 3

Данное уравнение x⁴ = y⁴ + 2y² + 157 можно рассматривать как диофантово уравнение, которое нужно решить в целых числах. Давайте попробуем найти его целочисленные решения.

Сначала перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

x⁴ - (y⁴ + 2y² + 157) = 0

Теперь упростим это уравнение:

x⁴ - y⁴ - 2y² - 157 = 0

Это уравнение является уравнением вида a⁴ - b⁴ = (a² + b²)(a² - b²). В данном случае, a = x² и b = y²:

(x² + y²)(x² - y²) - 2y² - 157 = 0

Далее, мы можем использовать разложение разности квадратов:

(x² + y²)(x² - y²) - 2y² - 157 = 0

(x² + y²)(x + y)(x - y) - 2y² - 157 = 0

Теперь мы видим, что у нас есть разность квадратов (x² - y²) и разность кубов (x³ - y³). Попробуем разложить (x³ - y³):

x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)

Таким образом, уравнение может быть переписано следующим образом:

(x - y)(x² + xy + y²)(x + y) - 2y² - 157 = 0

Теперь у нас есть разложение уравнения. Мы видим, что (x - y), (x + y), и (x² + xy + y²) являются целыми числами. Поэтому для целых решений этого уравнения (x, y), (x - y), (x + y) и (x² + xy + y²) должны быть делителями числа 157.

Число 157 является простым числом, и у него всего два делителя: 1 и 157. Это означает, что (x - y), (x + y), и (x² + xy + y²) должны быть равны 1 или -1, так как иначе их произведение не равно 157.

Теперь давайте рассмотрим все возможные комбинации значений:

1. (x - y) = 1, (x + y) = 157, (x² + xy + y²) = 1
2. (x - y) = -1, (x + y) = -157, (x² + xy + y²) = -1
3. (x - y) = 157, (x + y) = 1, (x² + xy + y²) = 1
4. (x - y) = -157, (x + y) = -1, (x² + xy + y²) = -1

Из первых двух уравнений видно, что (x + y) не может быть равно 157 и -157 одновременно, поэтому первые два набора уравнений не имеют целых решений.

Из последних двух уравнений видно, что (x - y) не может быть равно 157 и -157 одновременно, поэтому последние два набора уравнений тоже не имеют целых решений.

Итак, уравнение x⁴ = y⁴ + 2y² + 157 не имеет целых решений в данном контексте.