Question

Решите систему уравнений x^4-y^4=175 x^2-y^2=7

Answer 1

Ответ: (4; 3) (4; -3) (-4; 3) (-4; -3)

Пошаговое объяснение:

$x^4-y^4=175\\(x^2-y^2)(x^2+y^2)=175\\7(x^2+y^2)=175\\x^2+y^2=25\\x^2-y^2=7\\2x^2=32\\x^2=16\\x=4, y=\pm3\\x=-4, y=\pm3$

Answer 2

Для решения этой системы уравнений мы можем воспользоваться методом подстановки. Во-первых, давайте представим уравнение (2) в следующем виде:

x^2 - y^2 = 7

(x^2 - y^2) = 7

(x^2 - y^2) = (sqrt(7))^2

Теперь мы видим, что левая часть этого уравнения представляет собой разность квадратов, что может быть представлено как (x - y)(x + y). Таким образом:

(x - y)(x + y) = 7

Теперь давайте представим уравнение (1) в следующем виде:

x^4 - y^4 = 175

(x^2)^2 - (y^2)^2 = 175

Теперь мы видим, что левая часть этого уравнения также представляет собой разность квадратов, которая может быть представлена как (x^2 - y^2)(x^2 + y^2). Мы уже выразили (x^2 - y^2) в предыдущем уравнении, и оно равно 7. Таким образом:

(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = 7 * (x^2 + y^2) = 7 * 7 = 49

Теперь у нас есть два уравнения:

1. (x - y)(x + y) = 7
2. 7(x^2 + y^2) = 49

Давайте решим первое уравнение (1):

(x - y)(x + y) = 7

Мы видим, что x и y - целые числа, так как справа у нас 7. Из этого уравнения мы можем видеть, что x - y и x + y должны быть делителями 7. Варианты для делителей 7 - это (1, 7) и (-1, -7). Теперь мы можем рассмотреть оба случая:

1. x - y = 1 и x + y = 7
2. x - y = -1 и x + y = -7

Давайте начнем с первого случая:

1. x - y = 1
2. x + y = 7

Сложим оба уравнения:

(x - y) + (x + y) = 1 + 7

2x = 8

x = 4

Теперь мы можем найти y, подставив значение x в одно из уравнений:

x + y = 7

4 + y = 7

y = 7 - 4

y = 3

Таким образом, для этого случая, x = 4 и y = 3.

Теперь рассмотрим второй случай:

1. x - y = -1
2. x + y = -7

Сложим оба уравнения:

(x - y) + (x + y) = -1 - 7

2x = -8

x = -4

Теперь мы можем найти y, подставив значение x в одно из уравнений:

x + y = -7

-4 + y = -7

y = -7 + 4

y = -3

Для этого случая, x = -4 и y = -3.

Таким образом, у нас есть два решения системы уравнений:

1. x = 4, y = 3
2. x = -4, y = -3