Question

Помогите пж. Найти наибольшее значение выражения 2y-4x-x^2-y^2

Answer 1

Ответ:

в точке (-2;1) имеется максимум = 5;

Пошаговое объяснение:

z =2y-4x-x^2-y^2

найдем экстремумы при помощи производных

частные производные

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta x} = -2x-4 \qquad \frac{\delta z}{\delta y} =2-2y$

теперь решим систему

$\displaystyle \left \{ {{-2x-4=0} \atop {2-2y =0}} \right. \left \{ {{x=-2} \atop {y=1\hfill}} \right.$

мы получили точку экстремума (-2; 1)

теперь посмотрим, это минимум или максимум

вторые производные и их значения в точке (-2; 1)

$\displaystyle A=z''_{xx_{(-2;1)}}=-2\\\\C=z''_{yy_{(-2;1)}}=-2\\\\B = z''_{xy_{(-2;1)}}=0$

AC - B²= 4 > 0 и A < 0 , тогда в точке M1(-2;1) функция имеет максимум z(-2;1) = 5

Answer 2

Ответ:

5.

Пошаговое объяснение:

2y - 4x - x² - y² = - ((х² + 2•х•2 + 4) - 4 + (у² - 2•у•1 + 1) - 1) = - ((х+2)² + (у - 1)² - 5)

(х+2)² + (у - 1)² ≥ 0 при всех значениях х и у, тогда

(х+2)² + (у - 1)² - 5 ≥ - 5;

- 1•((х+2)² + (у - 1)² - 5) ≤ 5.

Получили, что наибольшим значением выражения 2y - 4x - x² - y² является 5.

Оно достигается при х = - 2 и у = 1.

Answer 3

Для нахождения наибольшего значения выражения 2y - 4x - x^2 - y^2 мы можем воспользоваться методом завершения квадрата (completing the square) по отношению к переменным x и y.

Для начала рассмотрим выражение по переменной x:

2y - 4x - x^2 = -x^2 - 4x + 2y

Теперь завершим квадрат по отношению к x. Для этого нам нужно добавить и вычесть половину коэффициента при x в квадратный член:

-x^2 - 4x + 2y = -(x^2 + 4x) + 2y

Чтобы завершить квадрат по отношению к x, добавим (4/2)^2 = 4 к обеим сторонам выражения:

-(x^2 + 4x + 4) + 2y + 4 = -(x + 2)^2 + 2y + 4

Теперь выражение по переменной x представлено в виде квадрата:

-(x + 2)^2 + 2y + 4

Теперь рассмотрим получившееся выражение по переменной y:

2y - 4x - x^2 - y^2 = -(x + 2)^2 + 2y + 4 - y^2

Теперь завершим квадрат по отношению к y, добавив и вычтя (0.5)^2 = 0.25 к обеим сторонам:

-(x + 2)^2 + 2y + 4 - y^2 = -(x + 2)^2 + (2y - 0.25) + 4 - y^2 + 0.25

Теперь выражение по переменной y также представлено в виде квадрата:

-(x + 2)^2 + (2y - 0.25)^2 + 3.75 - y^2

Теперь у нас есть полное выражение в виде разности двух квадратов:

-(x + 2)^2 + (2y - 0.25)^2 + 3.75 - y^2

Чтобы найти наибольшее значение этого выражения, нужно максимизировать выражение (2y - 0.25)^2, так как остальные члены являются константами. Максимальное значение квадрата равно 0, поскольку квадрат всегда неотрицателен. Таким образом, максимальное значение вашего исходного выражения равно 3.75.

Наибольшее значение выражения 2y - 4x - x^2 - y^2 равно 3.75 и достигается, когда x = -2 и y = 0.125.