Question

В прямокутній трикутник вписане коло, точки дотику кола ділять гіпотенузу на 5см і 7 см. Знайти катети.

Answer 1

Ответ:

(√71-1) см  и (√71+1) см  

Пошаговое объяснение:

Пусть х - радиус окружности.

Так как расстояния от общей вершины острого угла, измеренные по катету и по гипотенузе, равны, а расстояния от точки касания с катетами до вершины прямого угла равны радиусу вписанной окружности,  то длины катетов являются суммами двух слагаемых:

(5+х) см - первый катет,

(7+х) см - второй катет.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

(5+х)² + (7+х)² = (5+7)²

25 + 10х + х² + 49+14х +х² = 144

2х²+24х+74-144 = 0

х²+12х-35=0

х₁,₂ = -6±√(6²-(-35) = -6±√71

х = -6 +√71 (отрицательное значение корня -6 -√71 отбрасываем, так как радиус не может быть выражен отрицательным числом).

Длины катетов:

(5+х) = 5 -6 +√71 = -1 +√71 =(√71 -1) см ≈ 8,42615 - 1 ≈ 7,42615 см

(7+х) = 7 -6 +√71 = 1 +√71 = (√71+1) см ≈ 8,42615 + 1 ≈ 9,42615 см

ПРОВЕРКА:

(√71-1)² + (√71+1)² = 71 - 2√71 +1 +71 +2√71 +1 = 144

144 = 12² - что соответствует условию задачи, следовательно, длины катетов найдены верно.

Ответ: (√71-1) см  и (√71+1) см

ПРИМЕЧАНИЕ.

Дополнительная проверка делается по формуле:

r = (a+b-c)/2,

где г - радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник;

а и b - катеты,

с - гипотенуза.

Если подставим в эту формулу найденные длины катетов, то получим, что радиус окружности, вписанной в данный прямоугольный треугольник, равен (- 6 +√71) см, что соответствует значению х, полученному в ходе решения данной задачи.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі нам знадобиться використання подібності трикутників та властивостей вписаного кола.

Позначимо катети прямокутного трикутника як a та b, гіпотенузу - c. Також позначимо точки дотику кола до гіпотенузи як D та E, де AD = 5 см і BE = 7 см.

Ми знаємо, що коло вписане в прямокутний трикутник, тому дотичні до кола в точках дотику є перпендикулярними до відповідних сторін трикутника.

Таким чином, ми маємо дві подібні пари трикутників: трикутник ABC та трикутник ADE, та трикутник BCF та трикутник BEF.

Ми можемо використовувати подібність трикутників, щоб знайти значення катетів a та b:

1. Подібність трикутників ABC і ADE:

AB / AD = BC / DE

AB / 5 см = c / (c - 5 см)

AB / 5 = c / (c - 5)

AB = 5c / (c - 5)

2. Подібність трикутників BCF і BEF:

BC / BE = CF / EF

BC / 7 см = a / (a + b)

BC / 7 = a / (a + b)

BC = 7a / (a + b)

Тепер ми маємо систему двох рівнянь:

AB = 5c / (c - 5) BC = 7a / (a + b)

Ми також знаємо, що за теоремою Піфагора для трикутника ABC:

c^2 = a^2 + b^2

Тепер можна використовувати ці рівняння, щоб розв'язати задачу та знайти значення катетів a і b.