Question

(Log1/5((корень (х+3)^2) +(корень в 4 степени (2-х)4)) больше или равно -1 Найти количество целых решений неравенства

Answer 1

Решение:

    $\log_{\frac{1}{5}} \Big( \sqrt{ (x+3)^2 } + \sqrt[4]{(2-x)^4} \Big )\geq -1$

Так как степени $2$ и $4$ четные, нужно обязательно поставить модуль при упрощении подлогарифмического выражения:

    $\log_{\frac{1}{5}} \Big( \Big | x + 3\Big | + \Big | 2-x\Big | \Big)\geq -1$

Представим $-1$ как логарифм:

    $\log_{\frac{1}{5}} \Big( \Big | x + 3\Big | + \Big | 2-x\Big | \Big)\geq \log_{\frac{1}{5}}5$

Так как $\frac{1}{5} < 1$, знак неравенства меняется:

    $\Big | x + 3\Big | + \Big | 2-x\Big | \leq 5$

Полученное неравенство можно решить, например, методом интервалов:

• 1) $x \leq -3$

$(-x-3)+(2-x) \leq 5 \\x \geq -3$

  Здесь $x =-3$.

• 2) $-3$

$(x+3)+(2-x) \leq 5 \\5 \leq 5$

  Это правда: $x \in (-3;2)$.

• 3) $x \geq 2$

$(x+3)+(-2+x) \leq 5\\x \leq 2$

  То есть $x=2$.

Собирая все воедино, получаем, что $x \in \Big [-3;2 \Big ]$.

Целые решения: $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$. Всего $6$. Задача решена!

Ответ: 6.

Answer 2

Для начала давайте перепишем данное неравенство в более читаемой форме:

log₁/₅(√((x+3)²) + √(4⁴(2-x))) ≥ -1

Теперь преобразуем его. Помните, что логарифм с основанием 1/5 можно переписать как обычный логарифм с основанием 5 в знаменателе:

log₁/₅(a) = -log₅(a)

Используя это, неравенство можно переписать как:

-log₅(√((x+3)²) + √(4⁴(2-x))) ≥ -1

Сначала уберем минус с обеих сторон:

log₅(√((x+3)²) + √(4⁴(2-x))) ≤ 1

Теперь возведем обе стороны в пятую степень:

5¹ ≤ √((x+3)²) + √(4⁴(2-x))

5 ≤ √((x+3)²) + 4²√(2-x)

Теперь избавимся от корней, возводя обе стороны в квадрат:

25 ≤ (x+3)² + 4²(2-x)

25 ≤ (x+3)² + 16(2-x)

Теперь раскроем скобки:

25 ≤ x² + 6x + 9 + 32 - 16x

Далее, упростим это уравнение:

25 ≤ x² - 10x + 41

Переносим все члены влево:

x² - 10x + 41 - 25 ≤ 0

x² - 10x + 16 ≤ 0

Теперь решим это квадратное неравенство. Мы видим, что это квадратное уравнение имеет дискриминант D = (-10)² - 4116 = 100 - 64 = 36, что положительно. Это означает, что уравнение имеет два действительных корня.

x₁ = (10 + √36) / 2 = (10 + 6) / 2 = 8 x₂ = (10 - √36) / 2 = (10 - 6) / 2 = 2

Таким образом, у нас есть два корня: x₁ = 8 и x₂ = 2. Неравенство x² - 10x + 16 ≤ 0 выполняется на интервалах между этими корнями. Таким образом, количество целых решений неравенства равно количеству целых чисел на интервале (2, 8), что равно 5, так как это интервал включает числа 3, 4, 5, 6 и 7.