Question

Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника с основанием 36 и боковыми сторонами 30 отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите наименьшую площадь такого четырёхугольника.​

Answer 1

Так как три стороны искомого четырёхугольника – это стороны исходного треугольника, то вписанная в четырёхугольник окружность является и вписанной в треугольник.

То есть такая окружность – единственная и её радиус определяется размерами треугольника.

Радиус окружности r = S/p.

Площадь треугольника определяем по формуле Герона.

Полупериметр р = (30+30+36)/2 = 96/2 = 48.

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(48*18*18*12) = √186624 = 432 кв.ед.

Получаем r = 432/48 = 9.

Заданная прямая, образующая четырёхугольник, это касательная к окружности и перпендикулярная боковой стороне.

Длина отрезка СН = 18 + 9 = 27.

Находим тригонометрические функции угла С.

Определяем высоту BD = 2S/AC = 2*432/36 = 24.

sin C = 24/30 = 4/5, cos C = 18/30 = 3/5, tg C = 24/18 = 4/3.

Находим координаты точки Н.

x(H) = 36 – 27*cos C = 36 – (27*3/5) = 99/5 = 19,8.

y(H) = 27*sin C = 27*(4/5) = 108/5 = 21,6.

Координаты точки G находим как точку пересечения прямых AB и GH.

Уравнение АВ: у = (4/3)х.

Уравнение ВС: у = (-4/3)х + (36*4/3) = (-4/3)х + 48.

Угловой коэффициент к перпендикулярной прямой GH равен: к = -1/(-4/3) = 3/4.

Уравнение GH: y = (3/4)x + b. Для определения параметра b подставим координаты точки Н: 21,6 = (3/4)*19,8 + b, отсюда b = 6,75.

Уравнение GH: y = (3/4)x + 6,75.

Приравниваем (4/3)x = (3/4)x + 6,75.

Получаем x(G) = 81/7, y(G) = 108/7.

Имея координаты четырёх точек находим площадь искомого четырёхугльника.

Примем условные координаты точек.

Площадь треугольника ABC  

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 27,77143

Площадь треугольника ACD     388,8

Площадь четырёхугольника АBCD  S(ABCD)= 416,5714.

Ответ:  

S(AGHC)= 416,5714.

Answer 2

Давайте обозначим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC = 30 и BC = 36. Пусть D - середина основания BC, то есть BD = CD = 18.

Перпендикуляр из вершины A к стороне BC делит треугольник на два прямоугольных треугольника ADC и ADB. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с BC как E.

Так как AD - медиана, она также является высотой треугольника ABC, и, следовательно, перпендикуляр к BC также является медианой и высотой.

Поскольку ADC - прямоугольный треугольник, AE - медиана и высота, то точка E - середина гипотенузы CD.

Теперь у нас есть четырехугольник AEDB, в который можно вписать окружность.

Так как E - середина CD, то DE = 18. Окружность, вписанная в AEDB, касается стороны AD в точке F, где AF - радиус вписанной окружности.

Сумма длин отрезков AF и FD должна быть равна длине AD, то есть AF + FD = 30.

Также, AF является радиусом вписанной окружности, и FD равен половине основания четырехугольника, то есть FD = 18 / 2 = 9.

Отсюда следует, что AF = 30 - 9 = 21.

Теперь у нас есть радиус вписанной окружности (AF) и высота четырехугольника (AD).

Площадь четырехугольника AEDB можно найти по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (a + b)$

где $h$ - высота, $a$ и $b$ - основания.

$S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot (21 + 18)$

$S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 39$

$S = 585$

Таким образом, наименьшая площадь четырехугольника, в который можно вписать окружность, равна 585 квадратных единиц.