Question

Известно, что произведение двух натуральных чисел на 15 больше их наибольшего общего делителя. Чему может быть равно большее из чисел?

Answer 1

Ответ:

6 или 16

Пошаговое объяснение:

a,b∈N, НОД(a;b)=d⇒a=dk, b=dm, d∈N

Пусть a≥b⇒k≥m

ab=d+15

dk·dm=d+15

dk·dm-d=15

d(kdm-1)=15⇒d|15⇒d={1;3;5;15}

1) d=1

km-1=15

km=16, k≥m⇒(k,m)={(16;1); (8;2); (4;4)}⇒(a,b)={(16;1); (8;2); (4;4)}

Подходит только (16;1)

2) d=3

3km-1=5

3km=6

km=2,  k≥m⇒(k,m)=(2;1)⇒(a,b)=(6;3)

3) d=5

5km-1=3

5km=4, k,m∈∅

4) d=15

15km-1=1

15km=2,  k,m∈∅

Answer 2

Пусть наибольший общий делитель (НОД) этих двух натуральных чисел равен d. Тогда, согласно условию задачи, произведение этих чисел равно 15d больше, чем сами числа.

Математически это можно записать следующим образом:

xy = 15d + d xy = 16d

Теперь давайте рассмотрим возможные значения d и их влияние на большее из чисел (пусть это число будет x, где x ≥ y).

1. Если d = 1, то xy = 16, и x может быть любым натуральным числом, большим или равным 16.

2. Если d = 2, то xy = 32, и x может быть любым натуральным числом, большим или равным 32.

3. Если d = 4, то xy = 64, и x может быть любым натуральным числом, большим или равным 64.

4. И так далее...

Таким образом, большее из чисел x может быть равно любому натуральному числу, которое больше или равно 16, 32, 64 и так далее, в зависимости от значения НОД (d).