Question

X^4+x^3+2x^2+2x+3=0 Доказать , что уравнение не имеет действительных корней

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

x^4+x^3+2x^2+2x+3=0

Если x>=0, тогда    x^4+x^3+2x^2+2x+3>=3>0. Это легко

Если -1<=x<0, тогда |x^3|<|x|<1   получим  x^4+x^3+2x^2+2x+3=(x^4+2x^2)+(x^3+1)+2(x+1)>0, потому что x^4+2x^2>0, (x^3+1)>0, 2(x+1)>0

Если   x<-1, тогда |x^4|>|x^3|>|x^2|>|2x|   получим  x^4+x^3+2x^2+2x+3>3>0,    потому что x^4+x^3>0, 2x^2+2x>0

Тогда x^4+x^3+2x^2+2x+3>0 всегда. Корней нет

Answer 2

Для доказательства того, что данное уравнение $x^4+x^3+2x^2+2x+3=0$ не имеет действительных корней, мы можем воспользоваться методом анализа коэффициентов уравнения.

Обозначим данное уравнение как $f(x) = x^4+x^3+2x^2+2x+3$.

Воспользуемся теоремой о знаках Декарта, чтобы определить количество положительных и отрицательных корней уравнения.

Сначала посчитаем количество перемен знака в уравнении $f(x)$:

1. $f(-x) = (-x)^4 + (-x)^3 + 2(-x)^2 + 2(-x) + 3 = x^4 - x^3 + 2x^2 - 2x + 3$.

Коэффициенты при каждой степени чётные, значит, все знаки одинаковы. Таким образом, уравнение имеет ноль или два отрицательных корня.

2. Теперь посчитаем количество перемен знака в производной $f'(x)$:

$f'(x) = 4x^3 + 3x^2 + 4x + 2$

$f'(-x) = -4x^3 + 3x^2 - 4x + 2$

Видим, что $f'(x)$ имеет один переключение знака. Следовательно, уравнение $f(x)$ может иметь не более одного положительного корня.

Таким образом, по правилу знаков Декарта, уравнение $f(x) = x^4+x^3+2x^2+2x+3$ не может иметь ни положительных, ни отрицательных корней. Это означает, что уравнение не имеет действительных корней.