Question

Найти сумму ряда где n-ый член задан как n! * n Нужно решение.

Answer 1

Ответ:

$(n+1)!-1$

Пошаговое объяснение:

По определению $n!=1\cdot2\cdot3\cdots n$

Тогда $n!\cdot n=n!\cdot((n+1)-1)=n!\cdot(n+1)-n!=(n+1)!-n!$

Значит, ряд можно переписать в виде

$\displaystyle 1!\cdot1+2!\cdot2+\cdots+n!\cdot n\equiv\sum_{k=1}^n k!\cdot k=\\=(2!-1!)+(3!-2!)+\cdots+((n+1)!-n!)=\\=(n+1)!-n!+n!-(n-1)!+\cdots+3!-2!+2!-1!=\\=(n+1)!-1!=(n+1)!-1$

Все слагаемые, кроме первого и последнего, сокращаются.

Answer 2

Для нахождения суммы ряда, где n-ый член задан как n! * n, мы можем воспользоваться формулой для суммы бесконечного ряда. Ряд, заданный таким образом, имеет следующие члены:

a_n = n! * n = n * (n - 1)! = n * (n - 1) * (n - 2)! = ...

Для нахождения суммы этого ряда, мы будем использовать формулу для суммы бесконечного геометрического ряда:

S = a_1 / (1 - r),

где S - сумма ряда, a_1 - первый член ряда, r - отношение второго члена к первому члену.

В данном случае первый член ряда a_1 равен 1! * 1 = 1, и отношение второго члена к первому члену равно:

r = (2! * 2) / (1! * 1) = (2 * 2) / 1 = 4.

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

S = 1 / (1 - 4) = 1 / (-3) = -1/3.

Итак, сумма данного ряда равна -1/3.