Question

3. Пользователь выбирает три различные цифры, а компьютер выписывает все трехзначные числа, которые можно из них составить. Может ли среди выписанных чисел оказаться: (а) ровно 1 чётное; (б) ровно 2 чётных; (в) ровно 3 чётных; (г) ровно 4 чётных; (д) ровно 5 чётных?

Answer 1

Не совсем понятно, могут ли повторяться цифры в числах компьютера.

Предположим, что цифры в числах повторяться могут. Если нами была выбрана хотя бы одна четная цифра, то всего четных чисел будет не меньше $3\cdot3=9$, так как на первых двух местах могут находиться любые цифры. Тогда, ответы на все вопросы задачи отрицательные.

Рассмотрим вариант, когда цифры в числах повторяться не могут.

Если нами была выбрана только одна четная цифра, то всего четных чисел мы можем составить 2 (четную цифру ставим на последнее место, двумя способами можно разместить оставшиеся цифры на первых двух местах).

Если нами были выбраны только две четные цифры, то двумя способами мы можем выбрать и поставить любую из них на последнее место, а еще двумя способами мы можем разместить оставшиеся две цифры на первых двух местах. Итого $2\cdot2=4$ четных числа мы можем получить в этом случае.

Если нами были выбраны три четные цифры, то мы их можем переставлять любыми способами и в результате все равно получится четное число. Число перестановок для трех цифр дает $3!=3\cdot2\cdot1=6$ четных чисел в этом случае.

Итак, мы можем получить ровно 2 чётных или ровно 4 чётных числа.

Answer 2

Давайте разберемся с каждым пунктом задачи:

(а) Ровно 1 четное число: Чтобы получить ровно одно четное число, необходимо, чтобы среди выбранных тремя различных цифр ровно одна была четной. Всего есть 5 четных цифр (0, 2, 4, 6, 8) и 5 нечетных (1, 3, 5, 7, 9). Выбрать 1 четное из 5 можно 5 способами, а оставшиеся 2 цифры можно выбрать из 5 нечетных 5 * 5 способами. Таким образом, всего можно получить 5 * 5 * 5 = 125 трехзначных чисел, среди которых ровно одно будет четным.

(б) Ровно 2 четных числа: Для получения ровно 2 четных чисел, нужно выбрать 2 четные цифры из 5 и 1 нечетную из 5. Это можно сделать следующими способами: C(5, 2) * C(5, 1) = 10 * 5 = 50 способов.

(в) Ровно 3 четных числа: Чтобы получить ровно 3 четных числа, нужно выбрать 3 четные цифры из 5. Это можно сделать C(5, 3) = 10 способами.

(г) Ровно 4 четных числа: Чтобы получить ровно 4 четных числа, нужно выбрать 4 четные цифры из 5. Это можно сделать C(5, 4) = 5 способами.

(д) Ровно 5 четных чисел: Для получения ровно 5 четных чисел, все выбранные цифры должны быть четными. Есть только 5 четных цифр, так что это можно сделать всего одним способом.

Итак, вот ответы на ваши вопросы: (а) Ровно 1 четное число - 125 способов. (б) Ровно 2 четных числа - 50 способов. (в) Ровно 3 четных числа - 10 способов. (г) Ровно 4 четных числа - 5 способов. (д) Ровно 5 четных чисел - 1 способ.