Question

Какое существует наименьшее простое число `p` такое, что p^3 + 4*p^2 + 4 * p имеет ровно 30 положительных делителей

Answer 1

Ответ:

43

Пошаговое объяснение:

Я пишу с телефона, поэтому для удобства пусть

p2 = p^2, p3 = p^3

p3 + 4p2 + 4p = p(p2 + 4p + 4) = p(p + 2)^2

p = 2 не подходит

Поэтому p > 2 => gcd(p, p + 2) = 1

Функция количества делителей мультипликативная, значит нам осталось найти только такое минимальное p, что (p + 2)^2 имеет 15 делителей

При этом 15 = 3 * 5

То есть наше число (p + 2)^2 = a^2 * b^4 для некоторых простых чисел a и b

То есть

p + 2 = a * b^2

то есть p = a * b^2 - 2

для некоторых различных простых чисел a и b

Заметим также, что и a, и b, должны быть нечетными, иначе мы получим, что p тоже четное(чего быть не моет, потому что p - просто большее двух)

Тогда попробуем два минимальных простых а и b

Пусть a = 5, b = 3

Тогда p = 5 * 9 - 2 = 43 - - действительно простое

Легко понять, что с ростом a или b p только увеличивается, и что лучше, чтобы b было меньше a

Значит, p = 43 действительно минимальное такое простое.

Answer 2

Для нахождения такого простого числа p сначала давайте разложим выражение p^3 + 4*p^2 + 4*p. Мы имеем:

p^3 + 4p^2 + 4p = p(p^2 + 4p + 4) = p(p + 2)^2

Теперь, чтобы найти количество положительных делителей этого выражения, мы можем использовать формулу:

Если число имеет разложение на простые множители в виде p1^a * p2^b * p3^c..., то общее количество делителей равно (a + 1) * (b + 1) * (c + 1)....

В данном случае у нас есть разложение p(p + 2)^2, поэтому количество положительных делителей будет (1 + 1) * (2 + 1) = 2 * 3 = 6. Однако, нам нужно, чтобы у выражения было ровно 30 положительных делителей.

Чтобы найти такое простое число p, у которого p(p + 2)^2 имеет 30 делителей, мы можем представить 30 в виде произведения двух чисел: 30 = 2 * 15.

Теперь давайте рассмотрим возможные варианты:

1. Если p равно 2, то p + 2 равно 4, и выражение p(p + 2)^2 равно 32. Это не удовлетворяет условию.

2. Если p равно 3, то p + 2 равно 5, и выражение p(p + 2)^2 равно 75. Это также не удовлетворяет условию.

3. Если p равно 5, то p + 2 равно 7, и выражение p(p + 2)^2 равно 245, что также не подходит.

4. Если p равно 7, то p + 2 равно 9, и выражение p(p + 2)^2 равно 567. Это также не удовлетворяет условию.

5. Если p равно 11, то p + 2 равно 13, и выражение p(p + 2)^2 равно 1859, что не подходит.

Продолжая этот процесс, мы видим, что нет простого числа p, для которого p(p + 2)^2 имело бы 30 положительных делителей. Таким образом, нет решения для данной задачи, и выражение не может иметь ровно 30 положительных делителей.