Question

Композиция трех гомотетий, с центром в O1 и коэффициентом 2, с центром в O2 и коэффициентом −1/3, и с центром в O3 и коэффициентом k3, является центральной симметрией. Чему равен k3 ?

Answer 1

Ответ:

1,5

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим произвольную точку A. Обозначим точку, относительно которой композиция гомотетий будет центральной симметрией, за О.

Первая гомотетия переводит точку A в A':

$\overrightarrow{O_1A}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OO_1}\\\overrightarrow{O_1A'}=2(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OO_1})$

Вторая гомотетия переводит точку A' в A'':

$\overrightarrow{O_2A'}=\overrightarrow{O_1A'}-\overrightarrow{O_1O_2}\\\overrightarrow{O_2A''}=-\dfrac13\left(\overrightarrow{O_1A'}-\overrightarrow{O_1O_2}\right)$

Третья гомотетия переводит точку A'' в точку A''':

$\overrightarrow{O_3A''}=\overrightarrow{O_2A''}-\overrightarrow{O_2O_3}\\\overrightarrow{O_3A'''}=k_3\left(\overrightarrow{O_2A''}-\overrightarrow{O_2O_3}\right)$

Тогда

$\overrightarrow{OA'''}=\overrightarrow{O_3A'''}-\overrightarrow{O_3O}=k_3\overrightarrow{O_2A''}-\left(k_3\overrightarrow{O_2O_3}+\overrightarrow{O_3O}\right)=\\=-\dfrac{k_3}3\overrightarrow{O_1A'}-\left(-\dfrac{k_3}3 \overrightarrow{O_1O_2}+ k_3\overrightarrow{O_2O_3}+\overrightarrow{O_3O}\right)=\\=-\dfrac{2k_3}3\overrightarrow{OA}-\left(-\dfrac{2k_3}3 \overrightarrow{OO_1}-\dfrac{k_3}3 \overrightarrow{O_1O_2}+ k_3\overrightarrow{O_2O_3}+\overrightarrow{O_3O}\right)$

Так как композиция этих гомотетий является центральной симметрией, то $\overrightarrow{OA'''}=-\overrightarrow{OA}$. Поскольку A выбрана произвольно, то выражения должны совпадать тождественно, коэффициент перед $\overrightarrow{OA}$ должен равняться -1, а выражение в скобках должно быть равно нулю. Отсюда

$-\dfrac{2k_3}{3}=-1\\k_3=\dfrac32$

(В общем случае если композиция гомотетий с коэффициентами $k_1$, $k_2$, ..., $k_n$ является гомотетией с коэффициентом $k$, то $k_1k_2\dots k_n=k$)

Answer 2

Для того чтобы композиция трех гомотетий была центральной симметрией, коэффициенты гомотетий должны удовлетворять определенному условию. Давайте это выясним.

Пусть A - это точка в плоскости, которую мы преобразовываем сначала гомотетией с центром в O1 и коэффициентом 2, затем гомотетией с центром в O2 и коэффициентом -1/3, и, наконец, гомотетией с центром в O3 и коэффициентом k3. Пусть A' - это конечная точка после всех этих преобразований.

Мы можем записать это как:

A' = k3 * (O3 - O2 + (O2 - O1) * 2 * (1/3)) + O2

Теперь, чтобы композиция была центральной симметрией, A' должна совпадать с -A (симметричной точкой A относительно какой-то точки). Таким образом:

k3 * (O3 - O2 + (O2 - O1) * 2 * (1/3)) + O2 = -A

Теперь мы можем рассмотреть координаты точек A и -A. Пусть A имеет координаты (x, y), тогда -A имеет координаты (-x, -y). Таким образом, -A = (-x, -y).

Теперь мы можем переписать уравнение как:

k3 * (O3 - O2 + (O2 - O1) * 2 * (1/3)) + O2 = (-x, -y)

Теперь давайте сравним компоненты по x и y:

По x: k3 * (O3x - O2x + (O2x - O1x) * 2 * (1/3)) + O2x = -x

По y: k3 * (O3y - O2y + (O2y - O1y) * 2 * (1/3)) + O2y = -y

Теперь, чтобы композиция была центральной симметрией, мы должны иметь O2x = O2y = 0 (центр симметрии), и x = -y (симметричные координаты). Таким образом, O2x = O2y = 0 и O1x = O1y = O3x = O3y = 0.

Теперь уравнения упрощаются:

k3 * (0 - 0 + (0 - 0) * 2 * (1/3)) + 0 = -x k3 * 0 + 0 = -x

Так как O1x = O1y = O3x = O3y = 0, k3 * 0 = 0.

Из этого следует, что k3 * 0 = 0, и мы не можем найти определенное значение k3. Любое значение k3 удовлетворит уравнению, и, следовательно, композиция будет центральной симметрией.