Question

СРОЧНО Имеют пять различных шаров: красный, синий, зелёный, жёлтый и чёрный. Сколькими способами можно выложить все эти шары в один ряд так, чтобы красный шар оказался левее синего (но не обязательно рядом)?

Answer 1

Изначально расположим красный шар левее синего.

Берем любой из оставшихся шаров, например, зеленый. Его в получившемся ряду мы можем разместить 3 способами (поставить левее всех, поместить между шарами, поместить правее всех).

Далее, для каждой из образовавшихся последовательностей, следующий, например, желтый шар, мы можем разместить 4 способами.

Аналогично, для каждой из вновь образовавшихся последовательностей, последний шар мы можем разместить 5 способами.

Таким образом, число способов равно:

$3\cdot4\cdot5=60$

Также, можно заметить, общее число способов как-либо разметить 5 шаров равно $5!=120$, причем в половине из них (60 способов) красный шар лежит левее синего, а в другой половине красный шар лежит правее синего.

Ответ: 60

Answer 2

Чтобы найти количество способов, как можно выложить эти пять различных шаров в один ряд так, чтобы красный шар оказался левее синего, давайте рассмотрим два случая: красный шар левее синего и красный шар сразу слева от синего.

1. Красный шар левее синего: В этом случае, у нас есть два шара, которые мы должны разместить первыми: красный и синий. Это можно сделать 2! (2 факториал) способами. Затем у нас остаются еще 3 шара (зелёный, жёлтый и чёрный), которые можно разместить в оставшихся 3 местах. Это можно сделать 3! способами. Итак, общее количество способов для этого случая равно 2! * 3!.

2. Красный шар сразу слева от синего: В этом случае, снова у нас есть два шара, которые мы должны разместить первыми: красный и синий. Это можно сделать 2! способами. Затем у нас остаются еще 3 шара (зелёный, жёлтый и чёрный), которые можно разместить в оставшихся 3 местах. Это можно сделать 3! способами. Итак, общее количество способов для этого случая также равно 2! * 3!.

Теперь сложим оба случая:

Общее количество способов = (2! * 3!) + (2! * 3!) = 2 * 6 + 2 * 6 = 12 + 12 = 24 способа.

Итак, существует 24 способа выложить все эти пять различных шаров в один ряд так, чтобы красный шар оказался левее синего, но не обязательно рядом.