Question

Найдите наименьшее число, которое при делении на 5,на 7 и на 11 даёт в остатке 3.​

Answer 1

Ответ:

5*7*11+3=388

Пошаговое объяснение:

5*7*11 будет делится на 5, на 7 и на 11, т. к. это множителя. Если прибавить 3, то 3 будет остаток

Answer 2

Для найменьшого числа, яке при діленні на 5, 7 і 11 дає в залишку 3, ми можемо використовувати китайську теорему про залишки. Ця теорема говорить нам, що для будь-яких трьох цілих чисел a, b і c, якщо m, n і k є натуральними числами і є рішеннями системи рівнянь:

x ≡ a (mod m) x ≡ b (mod n) x ≡ c (mod k)

то існує рішення x (mod (m * n * k)), де m, n і k є взаємно простими числами (тобто їх найбільший спільний дільник дорівнює 1).

У нашому випадку, ми маємо:

x ≡ 3 (mod 5) x ≡ 3 (mod 7) x ≡ 3 (mod 11)

Зараз нам потрібно знайти найменше число, яке задовольняє цю систему рівнянь. Щоб це зробити, ми можемо обчислити:

m = 5 n = 7 k = 11

Тепер знайдемо обернені залишки для m, n і k за модулями n, k і m відповідно:

Обернений залишок для m за модулем n: m_inv = 5^(-1) mod 7 = 3 Обернений залишок для n за модулем k: n_inv = 7^(-1) mod 11 = 8 Обернений залишок для k за модулем m: k_inv = 11^(-1) mod 5 = 1

Тепер ми можемо обчислити x за допомогою китайської теореми про залишки:

x = (3 * 5 * 3 + 3 * 7 * 8 + 3 * 11 * 1) mod (5 * 7 * 11) x = (45 + 168 + 33) mod 385 x = 246 mod 385

Отже, найменше число, яке задовольняє задану систему рівнянь, це 246.