Question

X⁴-3x³-8x+24=0 Вказати корені р-ня.​

Answer 1

Ответ:
x₁ = 2
x₂ = 3
______

x⁴ - 3x³ - 8x + 24 = 0
x³(x - 3) - 8(x - 3) = 0
(x³ - 8)(x - 3) = 0

(1) x³ - 8 = 0
x³ = 8
x₁ = 2

(2) x - 3 = 0
x₂ = 3

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и найдем его корни.

Уравнение: X⁴ - 3X³ - 8X + 24 = 0

Для начала, давайте попробуем найти рациональные корни этого уравнения, используя рациональный корень теоремы. Эта теорема утверждает, что если есть рациональный корень p/q (где p и q взаимно просты) для уравнения с целыми коэффициентами, то p должно быть делителем свободного члена (в данном случае 24), а q должен быть делителем старшего коэффициента (в данном случае 1).

Поэтому мы будем искать все делители 24 и проверять их отношения к 1. Возможные значения p/q будут:

±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24

Теперь давайте проверим, являются ли какие-либо из этих значений рациональными корнями уравнения.

Подставим значения в уравнение:

1. При X = 1: 1⁴ - 3*1³ - 8*1 + 24 = 1 - 3 - 8 + 24 = 14, что не равно 0. 2. При X = -1: (-1)⁴ - 3*(-1)³ - 8*(-1) + 24 = 1 + 3 + 8 + 24 = 36, что не равно 0. 3. При X = 2: 2⁴ - 3*2³ - 8*2 + 24 = 16 - 24 - 16 + 24 = 0, что является корнем. 4. При X = -2: (-2)⁴ - 3*(-2)³ - 8*(-2) + 24 = 16 + 24 + 16 + 24 = 80, что не равно 0. 5. При X = 3: 3⁴ - 3*3³ - 8*3 + 24 = 81 - 81 - 24 + 24 = 0, что является корнем.

Таким образом, у нас есть два рациональных корня: X = 2 и X = 3.

Теперь мы можем попробовать разложить исходное уравнение с использованием синтетического деления или деления полиномов на (X - a), где "a" - найденные рациональные корни.

Деление на (X - 2): (X⁴ - 3X³ - 8X + 24) / (X - 2) = X³ - 2X² - 4X - 12

Теперь давайте решим это уравнение. Мы можем попробовать найти рациональные корни этого нового уравнения, но здесь нет таких корней, поэтому мы можем воспользоваться численными методами или факторизацией.

Факторизируем уравнение: X³ - 2X² - 4X - 12 = (X - 4)(X² + 2X + 3)

Получили два множителя: (X - 4) и (X² + 2X + 3). Первый множитель дает нам корень X = 4.

Теперь рассмотрим квадратное уравнение X² + 2X + 3. Его дискриминант D = 2² - 4*1*3 = 4 - 12 = -8. Поскольку дискриминант отрицательный, у нас нет действительных корней, но есть комплексные корни.

Решение квадратного уравнения: X² + 2X + 3 = 0 X = (-2 ± √(-8))/2 X = (-2 ± 2i√2)/2 X = -1 ± i√2

Таким образом, у нас есть следующие корни:

X = 2 X = 3 X = 4 X = -1 + i√2 X = -1 - i√2

Эти пять корней уравнения X⁴ - 3X³ - 8X + 24 = 0.