Question

Система трёх линейных уравнений метод решения Гаусса 2x+2y+5z=7 3x-4y+2z=12 x+3y+3z=2

Answer 1

Решение:

2x + 2y + 5z = 7

3x - 4y + 2z = 12

x + 3y + 3z = 2.

Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса

2   2    5    7

3  -4   2   12

1    3   3    2.

1-ую строку делим на 2

1   1   2.5   3.5  

3   -4    2    12

1     3    3    2.

От 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 3; от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 1

1      1     2.5      3.5

0    -7     -5.5      1.5

0      2      0.5     -1.5.

2-ую строку делим на -7

1      1        2.5       3.5

0      1     (11/14)   (-3/14)

0      2          0.5     -1.5.

От 1 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 1; от 3 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 2

1        0      (12/7)        (26/7)

0       1     (11/14)       (-3/14)

0       0     (-15/14)      (-15/14).

3-ую строку делим на (-15/14)

1       0       (12/7)        (26/7)

0        11    (11/14)      (-3/14)

0        0         1              1

от 1 строки отнимаем 3 строку, умноженную на (12/7); от 2 строки отнимаем 3 строку, умноженную на (11/14).

1          0          0           2

0         1           0          -1

0        0            1           1

x = 2, y = -1, z = 1.

Сделаем проверку. Подставим полученное решение в уравнения из системы и выполним вычисления:

2·2 + 2·(-1) + 5·1 = 4 - 2 + 5 = 7

3·2 - 4·(-1) + 2·1 = 6 + 4 + 2 = 12

2 + 3·(-1) + 3·1 = 2 - 3 + 3 = 2.

Проверка выполнена успешно.

Ответ: x = 2, y = -1, z = 1.

Answer 2

Для решения системы трех линейных уравнений методом Гаусса, нам нужно выполнить несколько шагов, чтобы привести систему к упрощенному виду, где каждое уравнение содержит только одну переменную. Этот метод включает в себя следующие шаги:

1. Записать систему уравнений: ``` 2x + 2y + 5z = 7 3x - 4y + 2z = 12 x + 3y + 3z = 2 ```

2. Применить элементарные преобразования над уравнениями, чтобы получить систему, где можно избавиться от одной переменной. Начнем с первого уравнения и избавимся от переменной x:

Умножим первое уравнение на -3/2 и сложим его с третьим уравнением:

   -3x - 3y - 7.5z = -10.5
   x + 3y + 3z = 2
   ------------------------
   -2.5z = -8.5
   

3. Теперь мы избавились от переменной x. Решим уравнение относительно z:

   -2.5z = -8.5
   z = -8.5 / (-2.5) = 8.5 / 2.5 = 3.4
   

4. Подставим значение z = 3.4 во второе уравнение, чтобы найти y:

   3x - 4y + 2z = 12
   3x - 4y + 2(3.4) = 12
   3x - 4y + 6.8 = 12
   3x - 4y = 12 - 6.8
   3x - 4y = 5.2
   

5. Применяем элементарные преобразования для получения уравнения с одной переменной, в данном случае x:

Выразим x:

   3x - 4y = 5.2
   3x = 5.2 + 4y
   x = (5.2 + 4y) / 3
   

Теперь у нас есть значения x, y и z:

- x = (5.2 + 4y) / 3 - y - любое значение (мы не ограничиваем его в данном методе) - z = 3.4

Это решение представляет собой бесконечное множество точек в трехмерном пространстве, образуя плоскость. Вы можете выбрать любое значение y, и затем найти соответствующие x и z, чтобы получить точку, удовлетворяющую исходной системе уравнений.