Question

Настя и Алеша задумали по натуральному числу: Настя — однозначное, а Алеша — двузначное. Оказалось, что их сумма — двузначное число, записанное одинаковыми цифрами, а произведение — трехзначное число, записанное одинаковыми цифрами. Какие числа были задуманы?

Answer 1

Ответ:

Алеша задумал 74, Настя задумала 3.

Пошаговое объяснение:

Пусть сумма чисел равна 11n, а Настя задумала число k, при этом и n, и k — натуральные числа, не большие 9. Тогда Алеша задумал число (11n-k).

Тогда (11*n-k)*k=111*l, где l — натуральное число, тоже не большее 9.

111*l=3*37*l, при этом 37 — простое число, то есть k не может быть его делителем,

стало быть, (11*n — k) должно делиться на 37. Еще одно условие — произведение слева должно делиться на 3, но первый множитель не может делиться на 3, поэтому на 3 должно делиться k.

Мы получаем следующие варианты:

11*n — k =37 или 11*n — k=74.

В первом случае n=4, k=7,  но k делится на 3.

Во втором случае n=7, k=3 — ура, получилось!

Answer 2

Пусть задуманное число Алеши состоит из цифр x и y (x - десятки, y - единицы). Тогда задуманное число Насти состоит только из цифры z (однозначное число).

Зная это, можем записать условие задачи в виде уравнений:

Сумма чисел Алеши и Насти: 10x + y + z = yy (1) Произведение чисел Алеши и Насти: (10x + y) * z = zzz (2)

Так как сумма чисел Алеши и Насти - двузначное одинаковое число, то у нас есть дополнительное уравнение: x + y + z = 11 (3)

Теперь решаем данную систему уравнений:

Из уравнения (2) можно сделать вывод, что z равно одному из простых трехзначных чисел: 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888 или 999.

Подставляем каждое из значений z в уравнение (1) и находим соответствующие значения x и y:

- При z = 111: из уравнения (1) получаем, что 10x + y = 111, а чтобы выполнялось уравнение (3), то x + y = 11. Решаем данную систему уравнений и находим, что x = 9 и y = 2. Получается, что Алеша задумал число 92, а Настя - число 9.

- При z = 222: из уравнения (1) получаем, что 10x + y = 222, а чтобы выполнялось уравнение (3), то x + y = 11. Решаем данную систему уравнений и находим, что x = 10 и y = -1, что не подходит, так как y должно быть положительным. Значит, данное значение z не подходит.

- При z = 333: из уравнения (1) получаем, что 10x + y = 333, а чтобы выполнялось уравнение (3), то x + y = 11. Решаем данную систему уравнений и находим, что x = 8 и y = 3. Получается, что Алеша задумал число 83, а Настя - число 8.

- При z = 444: аналогично рассуждая, получаем, что Алеша задумал число 74, а Настя - число 7.

- При z = 555: нет решений.

- При z = 666: нет решений.

- При z = 777: аналогично рассуждая, получаем, что Алеша задумал число 56, а Настя - число 5.

- При z = 888: нет решений.

- При z = 999: нет решений.

Итак, мы нашли все возможные комбинации чисел, которые подходят по условию задачи: Алеша задумал числа 92, 83 и 74, а Настя - числа 9, 8 и 7, соответственно.