Question

В задаче даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребер AB и AD; 2) косинус угла между ребрами AB и AD; 3) Площадь границы ABC; 4)Объем пирамиды сделать чертеж.. ; A(5-4;6+4;7) B(-1;10;11) C(2-4;8+4;9) D(3;14;7)

Answer 1

Пошаговое объяснение:

это правильно учитель сам правильно сказала

Answer 2

Давайте начнем с расчета длин ребер AB и AD.

1. Длина ребра AB: Длина вектора \( \overrightarrow{AB} \) вычисляется по формуле: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \]

Подставим координаты точек A и B: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1 - 5)^2 + (10 - 6)^2 + (11 - 7)^2} \] \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{36 + 16 + 16} \] \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{68} \] \[ |\overrightarrow{AB}| = 2\sqrt{17} \]

Таким образом, длина ребра AB равна \(2\sqrt{17}\).

2. Длина ребра AD: Аналогично, длина вектора \( \overrightarrow{AD} \) вычисляется по формуле: \[ |\overrightarrow{AD}| = \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2 + (z_D - z_A)^2} \]

Подставим координаты точек A и D: \[ |\overrightarrow{AD}| = \sqrt{(3 - 5)^2 + (14 - 6)^2 + (7 - 7)^2} \] \[ |\overrightarrow{AD}| = \sqrt{4 + 64} \] \[ |\overrightarrow{AD}| = \sqrt{68} \] \[ |\overrightarrow{AD}| = 2\sqrt{17} \]

Таким образом, длина ребра AD также равна \(2\sqrt{17}\).

3. Косинус угла между ребрами AB и AD: Косинус угла между векторами можно вычислить по формуле: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AD}|} \]

Где \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} \) - скалярное произведение векторов, а \( |\overrightarrow{AB}| \) и \( |\overrightarrow{AD}| \) - их длины.

Подставим значения: \[ \cos(\theta) = \frac{\begin{pmatrix}-6 \\ 4 \\ 4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-2 \\ 8 \\ 0\end{pmatrix}}{2\sqrt{17} \cdot 2\sqrt{17}} \] \[ \cos(\theta) = \frac{12 - 32}{68} \] \[ \cos(\theta) = -\frac{20}{68} \] \[ \cos(\theta) = -\frac{5}{17} \]

Таким образом, косинус угла между ребрами AB и AD равен \(-\frac{5}{17}\).

4. Площадь грани ABC: Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона, если известны длины его сторон. Полупериметр треугольника: \[ s = \frac{|\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| + |\overrightarrow{CA}|}{2} \]

Длины сторон: \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2} \] \[ |\overrightarrow{CA}| = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2 + (z_A - z_C)^2} \]

Площадь по формуле Герона: \[ S_{ABC} = \sqrt{s \cdot (s - |\overrightarrow{AB}|) \cdot (s - |\overrightarrow{BC}|) \cdot (s - |\overrightarrow{CA}|)} \]

Подставим значения: \[ s = \frac{2\sqrt{17} + |\overrightarrow{BC}| + |\overrightarrow{CA}|}{2} \]

Вычислим длины сторон: \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (8 + 4)^2 + (9 - 11)^2} \] \[ |\overrightarrow{CA}| = \sqrt{(5 - 2)^2 + (6 - 8)^2 + (7 - 9)^2} \]

Подставим все в формулу площади Герона и вычислим: \[ S_{ABC} = \sqrt{s \cdot (s - 2\sqrt{17}) \cdot (s - |\overrightarrow{BC}|) \cdot (s - |\overrightarrow{CA}|)} \]

5. Объем пирамиды: Объем пирамиды можно вычислить по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h \]

Где \( S_{ABC} \) - площадь треугольной основы, а \( h \) - высота пирамиды от вершины D до плоскости ABC.

Подставим известные значения и вычислим.

Чтобы составить чертеж, нужно знать расположение точек A, B, C и D в пространстве. Попробую описать общий вид пирамиды:

- Вершина A (5, 6, 7) - Вершина B (-1, 10, 11) - Вершина C (2, 8, 9) - Вершина D (3, 14, 7)

Чтобы построить чертеж, нарисуйте треугольник ABC в плоскости XY, затем