Question

Пусть A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ · · · ⊇ An ⊇ . . . — невозрастающая последовательность множеств, а B1 ⊆ B2 ⊆ B3 ⊆ · · · ⊆ Bn ⊆ . . . — неубывающая последовательность множеств. Известно, что A1 \ B1 = A9 \ B9. Докажите, что A2 \ B8 = A5 \ B5

Answer 1

Т.к. $X \subseteq Y \Leftrightarrow \overline{Y}\subseteq \overline{X}\;\;\forall X,Y: X,Y \subseteq {\displaystyle \mathbb {U} }$ , то $\overline{B_j}\subseteq \overline{B_i}\;\;\forall i, j: i,j \in {\displaystyle \mathbb {N} }, i$ .

Но тогда $A_k\backslash B_j=A_k\cap\overline{B_j}\subseteq A_l\cap\overline{B_i}=A_l\backslash B_i\;\;\forall i, j: i,j,k,l \in {\displaystyle \mathbb {N} }, i$ .

Значит

1)  $A_2\backslash B_8\subseteq A_1\backslash B_1$ и $A_9\backslash B_9\subseteq A_5\backslash B_5$.

Тогда, с учетом $A_1\backslash B_1= A_9\backslash B_9$, получим $A_2\backslash B_8\subseteq A_1\backslash B_1= A_9\backslash B_9\subseteq A_5\backslash B_5$ .

2) $A_5\backslash B_5\subseteq A_1\backslash B_1$ и $A_9\backslash B_9\subseteq A_2\backslash B_8$.

Тогда, с учетом $A_1\backslash B_1= A_9\backslash B_9$, получим $A_5\backslash B_5\subseteq A_1\backslash B_1= A_9\backslash B_9\subseteq A_2\backslash B_8$.

Получили, что $A_2\backslash B_8\subseteq A_5\backslash B_5$ и $A_5\backslash B_5\subseteq A_2\backslash B_8$ - но это и означает, что $A_5\backslash B_5=A_2\backslash B_8$

Ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся индукцией.

Базовый шаг: Проверим, выполняется ли утверждение для n = 2.

Дано: a1 ⊇ a2 и b1 ⊆ b2. Пусть a1 \ b1 = a9 \ b9.

Доказательство: Заметим, что a1 \ b1 = (a1 ∩ b1') ∪ (a1' ∩ b1) = (a1 ∩ b1') ⊆ (a1 ∩ b2') ⊆ (a1 ∩ b1) ⊆ b1. Так как a1 ⊇ a2, то a2 ⊆ a1 ∩ b1 ⊆ b1. Аналогично, a9 ⊆ b9. Из условия a1 \ b1 = a9 \ b9 следует, что a2 \ b1 = a9 \ b2, т.е. a2 \ b1 ⊇ a9 \ b2. Аналогично, a2 \ b2 ⊆ a9 \ b1.

Итак, базовый шаг доказан.

Индукционный переход: Предположим, что утверждение верно для n = k, т.е. a2 \ b(k-1) = a5 \ b5. Докажем, что оно верно для n = k+1, т.е. a2 \ b(k) = a5 \ b(k+1).

Дано: a1 ⊇ a2 ⊇ ... ⊆ b(k-1) ⊆ b(k) и a1 \ b1 = a9 \ b9.

Рассмотрим множество a5 \ b(k+1). Заметим, что a5 \ b(k+1) = (a2 ∩ b(k+1)') ∪ (a5' ∩ b(k+1)). Так как a2 ⊆ b(k) ⊆ b(k+1), то a2 ∩ b(k+1)' ⊆ b(k+1)'. Также, a5' ∩ b(k+1) ⊆ b(k+1). Следовательно, a5 \ b(k+1) ⊆ b(k+1).

Аналогично, рассмотрим множество a2 \ b(k). Заметим, что a2 \ b(k) = (a2 ∩ b(k)') ∪ (a2' ∩ b(k)). Так как a2 ⊆ b(k) ⊆ b(k+1), то a2 ∩ b(k)' ⊆ b(k)'. Также, a2' ∩ b(k) ⊆ b(k+1). Так как a5 \ b(k-1) = a2 \ b(k-1), то a2 \ b(k) ⊆ a5 \ b(k-1). Отсюда получаем, что a2 \ b(k) ⊆ b(k) и a2' ∩ b(k) ⊆ b(k+1). Следовательно, a2 \ b(k) ⊆ a5.

Из условия a1 \ b1 = a9 \ b9 следует, что a2 \ b(k) = a5 \ b(k-1). Так как a2 \ b(k) ⊆ a5 и b(k-1) ⊆ b(k), то a2 \ b(k) ⊆ a5 \ b(k). С другой стороны, a2 \ b(k) ⊆ b(k). Так как a2 ⊆ b(k), то a2 \ b(k) ⊆ b(k) ⊆ b(k+1). Таким образом, a2 \ b(k) ⊆ a5 \ b(k) ⊆ b(k+1).

Аналогично, рассмотрим множество a5 \ b(k+1). Из условия a2 \ b(k) = a5 \ b(k-1) следует, что a5 \ b(k+1) ⊆ a2 \ b(k+1). Так как a2 \ b(k+1) ⊆ b(k+1), то a5 \ b(k+1) ⊆ b(k+1) ⊆ a2 \ b(k+1). Таким образом, a5 \ b(k+1) ⊆ a2 \ b(k+1) ⊆ b(k+1).

Итак, мы показали, что a2 \ b(k) ⊆ a5 \ b(k) ⊆ b(k+1) и a2 \ b(k+1) ⊆ a5 \ b(k+1) ⊆ b(k+1). Так как a2 \ b(k) ⊆ a2 \ b(k+1), то a5 \ b(k) ⊆ a5 \ b(k+1). Аналогично, a5 \ b(k+1) ⊆ a5 \ b(k). Следовательно, a2 \ b(k+1) = a5 \ b(k+1).

Таким образом, мы доказали, что если a1 ⊇ a2 ⊇ ... ⊆ bn и a1 \ b1 = an \ bn, то a2 \ b8 = a5 \ b5. Ответ: a2 \ b8 = a5 \ b5.