Question

50 баллов! Вычислить криволинейный интеграл. (x+2у)dx + (x^2+y)dy , l:y=х^2, x∈[0;1]

Answer 1

Ответ:

2.5

Пошаговое объяснение:

$l: \ y=x^2 \\ dy=2xdx \\ \\ \int\limits_l (x+2y)dx + (x^2+y)dy = \int\limits^1_0 (x+2x^2)dx+(x^2+x^2)2dx= \\ \\ =\int\limits^1_0 (x+2x^2+4x^2)} \, dx = \int\limits^1_0 (x+6x^2)} \, dx = (\frac{x^2}{2} +2x^3) | _0^1=\frac{1}{2}+2=2.5$

Answer 2

Криволинейные интегралы широко используются в математике для вычисления работы, потока, массы и других величин по кривой линии. Давайте рассмотрим заданный криволинейный интеграл:

\[ \int_C (x + 2y) \,dx + (x^2 + y) \,dy, \]

где \( C \) - кривая в плоскости, заданная параметризацией \( y = x^2 \), а \( x \) изменяется от 0 до 1.

Для вычисления этого интеграла, давайте параметризуем кривую. Поскольку \( y = x^2 \), то у нас есть параметризация \( C \) в виде \( \mathbf{r}(t) = (t, t^2) \), где \( t \) изменяется от 0 до 1.

Теперь вычислим \( dx \) и \( dy \) для данной параметризации:

\[ dx = dt, \] \[ dy = 2t \,dt. \]

Подставим это в наш интеграл:

\[ \int_C (x + 2y) \,dx + (x^2 + y) \,dy = \int_0^1 [(t + 2t^2) \,dt + (t^2 + t^2) \cdot (2t \,dt)]. \]

Раскрываем скобки:

\[ \int_0^1 (t + 2t^2) \,dt + \int_0^1 (2t^3 + 2t^2) \,dt. \]

Теперь вычисляем каждый из интегралов:

\[ \int_0^1 (t + 2t^2) \,dt = \frac{1}{2}t^2 + \frac{2}{3}t^3 \Big|_0^1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - 0 = \frac{5}{6}, \]

\[ \int_0^1 (2t^3 + 2t^2) \,dt = \frac{1}{2}t^4 + \frac{2}{3}t^3 \Big|_0^1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - 0 = \frac{5}{6}. \]

Теперь сложим оба интеграла:

\[ \frac{5}{6} + \frac{5}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}. \]

Таким образом, значение криволинейного интеграла данной функции по заданной кривой равно \(\frac{5}{3}\).