Question

Якщо площа повної поверхні правильної n-кутної піраміди в 3 рази більша площі основи, то двогранний кут при основі піраміди дорівнює:​

Answer 1

Відповідь:

60°

Покрокове пояснення:

Нехай а - сторона n-кутника при основі, h -висота бічної грані, r-радіус вписаного кола в основу

Sоснови=n/2×r²×sin(360°/2)=n/2×a²sin(360/n)/(4sin²180/n)= na²/4×ctg(180/n)

Sбічна=1/2 ahn

Sповн=Sоснови+Sбічна=3Sоснови

na/2×(h+a/2 ctg 180/n)=3 na²/4 ctg180/n)

Тому

h=actg(180/n)

Нехай e-двогранний кут при основі піраміди

cos e=r/h, тому cos e =a/2 ctg(180/n) ÷a ctg(180/n)=1/2 , таким чином кут е=60°

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі використаємо формулу для обчислення площі повної поверхні правильної n-кутної піраміди:

S = (n * a * l) / 2 + A,

де S - площа повної поверхні, n - кількість сторін основи, a - довжина сторони основи, l - висота піраміди, A - площа основи.

За умовою задачі площа повної поверхні в 3 рази більша за площу основи, тобто:

S = 3A.

Підставимо це у формулу:

3A = (n * a * l) / 2 + A.

Спростимо рівняння:

3A = (n * a * l) / 2 + A, 3A = (n * a * l) / 2 + 2A / 2, 3A = (n * a * l + 2A) / 2.

Помножимо обидві частини рівняння на 2, щоб позбутися дробів:

6A = n * a * l + 2A, 6A - 2A = n * a * l, 4A = n * a * l.

Тепер ми можемо виразити висоту піраміди l через площу основи A, кількість сторін основи n та довжину сторони основи a:

l = 4A / (n * a).

Отже, двогранний кут при основі піраміди дорівнює:

tan(α) = a / (2l) = a / (2 * (4A / (n * a))) = a^2 / (8A / n) = (n * a^2) / 8A.

Таким чином, двогранний кут при основі піраміди дорівнює (n * a^2) / 8A.