Question

Натуральное число a и простое число p таковы, что 4a+1 и a−30 делятся на p. Чему равно p?

Answer 1

Если a≠30 , то p любое число отличное от нуля и единицы

Answer 2

число отличное от нуля и еденицы

Answer 3

Дано, что натуральное число a и простое число p таковы, что 4a + 1 и a - 30 делятся на p. Мы должны найти значение p.

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся по порядку.

По условию, 4a + 1 делится на p. Это означает, что остаток от деления 4a + 1 на p равен нулю. Мы можем записать это в виде уравнения:

4a + 1 ≡ 0 (mod p)

Также, по условию, a - 30 делится на p. Это означает, что остаток от деления a - 30 на p равен нулю. Мы можем записать это в виде уравнения:

a - 30 ≡ 0 (mod p)

Теперь у нас есть два уравнения, и мы можем их решить, чтобы найти значение p.

Решение:

Давайте решим первое уравнение:

4a + 1 ≡ 0 (mod p)

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от коэффициента перед a:

16a + 4 ≡ 0 (mod p)

Теперь вычтем из обеих частей уравнения 30:

16a + 4 - 30 ≡ -26 (mod p)

16a - 26 ≡ 0 (mod p)

Теперь решим второе уравнение:

a - 30 ≡ 0 (mod p)

Теперь у нас есть два уравнения:

16a - 26 ≡ 0 (mod p)

a - 30 ≡ 0 (mod p)

Мы можем использовать метод подстановки, чтобы решить эти уравнения. Заменим a в первом уравнении на 30:

16 * 30 - 26 ≡ 0 (mod p)

480 - 26 ≡ 0 (mod p)

454 ≡ 0 (mod p)

Теперь у нас есть уравнение, в котором значение известно. Мы знаем, что 454 делится на p. Чтобы найти значение p, мы можем просто перебирать простые числа, пока не найдем такое, что 454 делится на него.

Проверим простые числа, начиная с 2:

2: 454 % 2 = 0 (454 делится на 2) - не подходит 3: 454 % 3 = 2 - не подходит 5: 454 % 5 = 4 - не подходит 7: 454 % 7 = 4 - не подходит 11: 454 % 11 = 0 (454 делится на 11) - найдено!

Таким образом, мы нашли, что p = 11.

Ответ:

p = 11