Question

В школе есть четыре 8-ых класса, в каждом по $$29$$ школьников. Найдите количество способов выбрать из них $$5$$ школьников в команду на математический бой так, чтобы из каждого класса был выбран хотя бы один школьник

Answer 1

Ответ:

79 215 472  способов.

Пошаговое объяснение:

Найти  количество способов выбрать 5 школьников в команду на математический бой так, чтобы из каждого класса был выбран хотя бы один школьник.

Есть четыре восьмых класса в каждом из которых 29 учеников.

Из каждого класса надо выбрать хотя бы одного школьника для команды из 5 человек.

Рассмотрим какие есть варианты выбора. В целом варианты выбора можно описать так: по одному человеку из трех классов и два человека из четвертого класса. Варианты выбора выглядят так :

1; 1 ; 1; 2

1; 1; 2; 1

1; 2; 1; 1

2; 1; 1; 1

Выбрать одного ученика из 29 можно:

1 * 29 = 29 способами

Из первого класса выбираем  одного - 29 способов, из второго, третьего и четвертого   также по одному :

29*29*29*29 способов .

Из каждого из 4 классов по одному ученику уже выбрали  .

Всего 4 класса  по 29-1= 28 учеников .

К имеющимся 29*29*29*29 способам подходит  любой из оставшихся (4*28) учеников.

Итого 29*29*29*29*(4*28) =  29⁴ * ( 4*28) = 79 215 472 способов

Значит команду из пяти человек можно составить 79 215 472 способами.

Answer 2

Для решения данной задачи нам необходимо выбрать 5 школьников из каждого из 4 классов так, чтобы из каждого класса был выбран хотя бы один школьник.

Решение:

Для решения задачи можно использовать принцип включений-исключений.

Пусть A1, A2, A3, A4 - события, при которых не выбран ни один школьник из 1-го, 2-го, 3-го и 4-го классов соответственно.

Тогда количество способов выбрать 5 школьников из каждого класса так, чтобы из каждого класса был выбран хотя бы один школьник, можно найти по формуле:

Количество способов = общее количество способов - количество способов, когда хотя бы один класс остается без школьников + количество способов, когда хотя бы два класса остаются без школьников - количество способов, когда хотя бы три класса остаются без школьников + количество способов, когда все классы остаются без школьников.

Расчет:

Общее количество способов выбрать 5 школьников из каждого класса равно произведению количества способов выбрать 5 школьников из каждого класса:

Общее количество способов = количество способов выбрать 5 школьников из 1-го класса * количество способов выбрать 5 школьников из 2-го класса * количество способов выбрать 5 школьников из 3-го класса * количество способов выбрать 5 школьников из 4-го класса.

Количество способов выбрать 5 школьников из каждого класса, когда хотя бы один класс остается без школьников, можно найти по формуле:

Количество способов, когда хотя бы один класс остается без школьников = количество способов выбрать 5 школьников из 3 классов * количество способов выбрать 5 школьников из 2 классов * количество способов выбрать 5 школьников из 1 класса.

Аналогично, количество способов выбрать 5 школьников из каждого класса, когда хотя бы два класса остаются без школьников, можно найти по формуле:

Количество способов, когда хотя бы два класса остаются без школьников = количество способов выбрать 5 школьников из 2 классов * количество способов выбрать 5 школьников из 1 класса.

Количество способов выбрать 5 школьников из каждого класса, когда хотя бы три класса остаются без школьников, можно найти по формуле:

Количество способов, когда хотя бы три класса остаются без школьников = количество способов выбрать 5 школьников из 1 класса.

Количество способов выбрать 5 школьников из каждого класса, когда все классы остаются без школьников, равно 0.

Результат:

Подставим значения в формулу и произведем вычисления:

Количество способов = (количество способов выбрать 5 школьников из 1-го класса * количество способов выбрать 5 школьников из 2-го класса * количество способов выбрать 5 школьников из 3-го класса * количество способов выбрать 5 школьников из 4-го класса) - (количество способов выбрать 5 школьников из 3 классов * количество способов выбрать 5 школьников из 2 классов * количество способов выбрать 5 школьников из 1 класса) - (количество способов выбрать 5 школьников из 2 классов * количество способов выбрать 5 школьников из 1 класса) - (количество способов выбрать 5 школьников из 1 класса).

Подставим значения: - Количество способов выбрать 5 школьников из 1 класса = C(29, 5) = 118755. - Количество способов выбрать 5 школьников из 2 классов = C(29, 5) * C(29, 5) = 118755 * 118755 = 14088857625. - Количество способов выбрать 5 школьников из 3 классов = C(29, 5) * C(29, 5) * C(29, 5) = 14088857625 * 118755 = 16744980717119375. - Количество способов выбрать 5 школьников из 4 классов = C(29, 5) * C(29, 5) * C(29, 5) * C(29, 5) = 16744980717119375 * 118755 = 1987103283012780740625.

Вычислим: - Количество способов выбрать 5 школьников из каждого класса, когда хотя бы один класс остается без школьников = C(29, 5) * C(29, 5) * C(29, 5) = 14088857625 * 118755 = 16744980717119375. - Количество способов выбрать 5 школьников из каждого класса, когда хотя бы два класса остаются без школьников = C(29, 5) * C(29, 5) = 118755 * 118755 = 14088857625. - Количество способов выбрать 5 школьников из каждого класса, когда хотя бы три класса остаются без школьников = C(29, 5) = 118755. - Количество способов выбрать 5 школьников из каждого класса, когда все классы остаются без школьников = 0.

Теперь подставим значения в формулу:

Количество способов = (1987103283012780740625) - (16744980717119375) - (14088857625) - (118755) = 1987103283012766338490.

Ответ:

Количество способов выбрать 5 школьников из каждого класса так, чтобы из каждого класса был выбран хотя бы один школьник, равно 1987103283012766338490.