Question

Вычислить интеграл ∫∫(2x+3y)dxdy, где область D - это треугольник с вершинами A(-2;-2), B(-1;2), C(-1;-3/2)

Answer 1

Ответ:

B) думаю это правильно на все сто процентов!!!

Answer 2

Для вычисления данного двойного интеграла необходимо разбить область D на два треугольника.

Таким образом, мы получаем два интеграла: ∫∫(2x+3y)dxdy в области D = ∫∫(2x+3y)dxdy в области D1 + ∫∫(2x+3y)dxdy в области D2

Где D1 - это треугольник с вершинами A(-2;-2), B(-1;2), D(-2;2) D2 - это треугольник с вершинами B(-1;2), C(-1;-3/2), D(-2;2)

Интеграл в области D1: ∫∫(2x+3y)dxdy в области D1 = ∫[-2,-1]∫[2, -2] (2x+3y)dxdy

Интеграл в области D2: ∫∫(2x+3y)dxdy в области D2 = ∫[-1,-2]∫[-3/2, 2] (2x+3y)dxdy

Далее, произведем вычисления каждого из интегралов:

Интеграл в области D1: ∫∫(2x+3y)dxdy в области D1 = ∫[-2,-1]∫[2, -2] (2x+3y)dxdy = ∫[-2,-1] (2x^2/2 + 3xy)|[2, -2] dx = ∫[-2,-1] (2 - 2x + 6x - 6) dx = ∫[-2,-1] (-4x - 4) dx = (-2x^2 - 4x)|[-2,-1] = (-2*(-1)^2 - 4*(-1)) - (-2*(-2)^2 - 4*(-2)) = (-2 + 4) - (-8 - 8) = 2 + 16 = 18

Интеграл в области D2: ∫∫(2x+3y)dxdy в области D2 = ∫[-1,-2]∫[-3/2, 2] (2x+3y)dxdy = ∫[-1,-2] (2x^2/2 + 3xy)|[-3/2, 2] dx = ∫[-1,-2] (2 - 2x - 9/2x + 6) dx = ∫[-1,-2] (-9/2x - 2x + 4) dx = (-9/4x^2 - 2x^2/2 + 4x)|[-1,-2] = (-9/4*(-1)^2 - 2*(-1)^2/2 + 4*(-1)) - (-9/4*(-2)^2 - 2*(-2)^2/2 + 4*(-2)) = (-9/4 - 1 + 4) - (-9/4*4 - 2*2 + 8) = (-9/4 + 3) - (-9 + 8) = (-9/4 + 12/4) - (-1) = (3/4) - (-1) = 3/4 + 1 = 7/4

Теперь сложим результаты двух интегралов: ∫∫(2x+3y)dxdy в области D = 18 + 7/4 = 73/4

Таким образом, значение данного двойного интеграла в области D равно 73/4.