Question

Срочно! Ваня бежит из дома в школу с постоянной скоростью. Если бы он изначально увеличил скорость на 3 м/с, то прибежал бы в школу в 3.5 раза быстрее. Во сколько раз быстрее он прибежал бы в школу, если бы изначально увеличил скорость на 6 м/с?

Answer 1

Відповідь:

Если Ваня увеличит скорость на 6 м./сек., то время в пути сократится в 6 раз.

Покрокове пояснення:

Пусть Х - скорость Вани, а А - растояние от дома до школы. Тогда Ваня прибегает в школу за А / Х секунд. Если Ваня увеличит скорость на 3 м./сек., то ему понадобится А / ( Х + 3 ) секунд. В этом случае время в пути сократится в 3,5 раза.

3,5 × А / ( Х + 3 ) = А / Х

3,5 × Х = Х + 3

2,5 × Х = 3

Х = 3 / 2,5 = 1,2 м./сек. - скорость Вани.

Если Ваня бежит с обычной скоростью, то ему понадобится А / 1,2 секунд, а если он увеличит скорость на 6 м./сек., то ему понадобится А / ( Х + 6 ) = А / 7,2 секунд. В этом случае время в пути сократится в 7,2 / 1,2 = 6 раз.

Answer 2

Давайте обозначим изначальную скорость Вани как \( V \) (в м/с). Тогда, если он увеличит скорость на 3 м/с, его новая скорость будет \( V + 3 \) м/с. Согласно условию, если он это сделает, то время, которое ему потребуется, чтобы добежать до школы, уменьшится в 3.5 раза.

Мы можем использовать формулу времени \( t = \frac{d}{v} \), где \( t \) - время, \( d \) - расстояние, \( v \) - скорость.

Теперь, если изначальная скорость Вани равна \( V \), расстояние от дома до школы останется неизменным, и мы можем записать:

\[ \frac{d}{V + 3} = 3.5 \cdot \frac{d}{V} \]

Далее, упростим уравнение, избавившись от \( d \):

\[ \frac{1}{V + 3} = 3.5 \cdot \frac{1}{V} \]

Теперь решим это уравнение относительно \( V \). Умножим обе стороны на \( V \cdot (V + 3) \):

\[ V \cdot (V + 3) = 3.5 \cdot (V + 3) \]

Раскроем скобки:

\[ V^2 + 3V = 3.5V + 10.5 \]

Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

\[ V^2 - 0.5V - 10.5 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы видим, что это квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 1, b = -0.5, c = -10.5 \). Мы можем использовать формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \) и затем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

\[ D = (-0.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10.5) = 1 + 42 = 43 \]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня:

\[ V_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ V_{1,2} = \frac{0.5 \pm \sqrt{43}}{2} \]

Теперь, найдем значения \( V \) для обоих корней:

\[ V_1 \approx \frac{0.5 + \sqrt{43}}{2} \approx 3.79 \, \text{м/с} \]

\[ V_2 \approx \frac{0.5 - \sqrt{43}}{2} \approx -2.79 \, \text{м/с} \]

Исходная скорость не может быть отрицательной, поэтому \( V_2 \) не подходит для нашей ситуации.

Таким образом, \( V_1 \) примерно равно 3.79 м/с. Теперь мы можем рассчитать новую скорость, если Ваня увеличит ее на 6 м/с:

\[ V_{\text{новая}} = V_1 + 6 \, \text{м/с} \approx 3.79 + 6 = 9.79 \, \text{м/с} \]

Теперь мы можем вычислить, во сколько раз он прибежит быстрее:

\[ \frac{V_{\text{новая}}}{V} = \frac{9.79}{3} \approx 2.58 \]

Итак, если Ваня изначально увеличит скорость на 6 м/с, он прибежит в школу примерно в 2.58 раза быстрее.